선형대수학, 그 여섯 번째 이야기 | 벡터공간의 기저 (Basis of Vector Spaces)

앞선 여러 글에서 벡터 공간을 $\mathrm{span}$ 하는 집합과 선형 독립에 대해 정의했다. 우리는 이를 이용하여, 두 가지의 매우 유용한 도구인 기저(basis)와 차원(dimension)을 정의할 것이다.

 

기저의 정의는 아래와 같다.

 

벡터 공간 $V$ 에 대해, 집합 $\beta$ 가 아래 두 가지 조건을 만족한다면 $\beta$ 를 $V$ 의 기저라고 한다.      1. $\mathrm{span}(\beta) = V$      2. $\beta$ 는 선형 독립

 

그리고 $V$ 의 기저에 대해, 아래 명제는 참이다.

 

체 $F$ 위의 벡터 공간 $V$ 와 $\beta = \{ u_1, u_2, \cdots, u_n \} \subseteq V$ 를 생각하자.      $\beta$ 가 $V$ 의 기저임과 임의의 $v \in V$ 가 $\{ u_1, u_2, \cdots, u_n\}$ 의 선형결합으로 유일하게 표현됨은 동치다.

 

여기서 $v$ 가 선형결합으로 유일하게 표현된다는 뜻은, $$v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots a_n u_n$$ 인 $a_1, a_2, \cdots, a_n \in F$ 가 유일하다는 뜻이다.

 

Proof

 

$\beta = \{ u_1, u_2, \cdots, u_n \}$ 가 $V$ 의 기저라고 하자. 기저의 정의에 의해, $v \in V$ 이면 $v \in \mathrm{span}(V)$ 이다. 그렇다면 $\mathrm{span}$ 의 정의에 의해 $v$ 는 $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 의 선형결합으로 쓸 수 있다. 이 때 $$v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n = b_1 u_1 + b_2 u_2 + \cdots + b_n u_n$$ 처럼, $v$ 가 두 개의 다른 선형 결합으로 표시될 수 있다고 가정하자.

(단, $a_1, a_2, \cdots, a_n, b_1, b_2, \cdots, b_n \in F$)

 

그렇다면, 두 식을 서로 빼면 다음과 같은 식을 얻는다. $$(a_1 - b_1) u_1 + (a_2 - b_2) u_2 + \cdots + (a_n - b_n) u_n = 0$$ 그런데 $\beta$ 는 선형 독립이므로, $$a_1 - b_1 = a_2 - b_2 = \cdots = a_n - b_n = 0$$ 이어야 위 식이 성립할 수 있다. 이는 곧, $$a_1 = b_1, a_2 = b_2, \cdots, a_n = b_n$$ 이므로, 두 개의 선형 결합이 다르다는 가정에 모순이다.

따라서 $v$ 를 $\beta$ 의 선형 결합으로 표현하는 방법은 유일하다.

 

이제 모든 $v \in V$ 가 $\beta$ 의 유일한 선형 결합으로 표시될 수 있다고 가정하자. 이 때 $\beta$ 가 $V$ 의 기저이려면, $V = \mathrm{span}(\beta)$ 이고, $\beta$ 가 선형 독립임을 보이면 된다.

 

우선, 모든 $v \in V$ 가 $\beta$ 의 선형 결합으로 표현되므로, $V = \mathrm{span}(\beta)$ 임은 참이다. 이제, $\beta$ 가 선형 독립임을 보이기 위해서, 다음 등식을 보자. $$0u_1 + 0u_2 + \cdots + 0u_n = 0$$ 그런데 $v$ 를 $\beta$ 의 선형 결합으로 표현하는 방법은 유일하므로, $c_1 u_1 + c_2 u_2 + \cdots + c_n u_n$ 을 만족하는 $c_1, c_2, \cdots, c_n$ 은 $c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0$ 이 유일하다. 따라서, $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 은 선형 독립이다.

 

$\beta$ 는 $V$ 를 $\mathrm{span}$ 하고, 선형 독립이므로 $\beta$ 는 $V$ 의 기저이다.

 

 

또, 벡터 공간 $V$ 를 $\mathrm{span}$ 하는 유한집합 $S$ 로부터, 기저에 대한 다음 정리를 얻을 수 있다.

 

$V$ 가 유한집합 $S$ 로 $\mathrm{span}$ 된다면, $\beta \subseteq S$ 인 $V$ 의 기저 $\beta$ 가 존재한다.

 

Proof

 

만약 $S = \varnothing$ 이거나 $S = \{0\}$ 이면, $V = \{0\}$ 이고, $\varnothing$ 은 $V$ 의 기저인 $S$ 의 부분집합이 된다. 따라서 $S \neq \varnothing, \{0\}$ 일 때를 생각하자.

 

$S$ 의 영벡터가 아닌 원소 $u_1$ 을 생각하자. 이 때, $\beta = \{u_1 \}$ 은 선형 독립인 집합이다. 이제, $S$ 에서 $\beta \cup \{v\}$ 가 되는 $v$ 가 존재한다면, 이를 $\beta$ 에 추가하는 과정을 반복하여 $\beta = \{u_1, u_2, \cdots, u_k\}$ 가 되었다고 하자. $S$ 는 유한집합이므로, 위의 반복은 유한한 횟수 안에 끝남이 보장된다.

 

이제 우리는 위의 방법으로 만들어낸 $\beta$ 가 $V$ 의 기저임을 보일 것이다.

우선 $\beta$ 의 정의에 의해 $\beta$ 는 선형 독립이다. 이제 $\mathrm{span}(\beta) = V$ 임을 보이자.

 

$V$ 는 $S$ 로 $\mathrm{span}$ 된 벡터 공간이므로, 우리는 $S \subseteq \mathrm{span}(\beta)$ 임을 보이면 충분하다. 이것으로 충분한 이유는 이 글의 첫 번째 정리에 의한 것이다.

 

임의의 $v \in S$ 를 생각하자. 만약 $v \in \beta$ 라면, 자명하게 $v \in \mathrm{span}(\beta)$ 이다. 

이제 $v \notin \beta$ 일 때를 생각해보자. $\beta$ 가 만들어진 과정에 의해, $\beta \cup \{v\}$ 는 선형 종속이어야 한다. 그런데 이 글의 마지막 정리에 의하면, $\beta \cup \{v\}$ 가 선형 종속임과 $v \in \mathrm{span}(\beta)$ 임은 동치이다. 따라서, $v \in \mathrm{span}(\beta)$ 이다.

 

임의의 $v \in S$ 에 대해 $v \in \mathrm{span}(\beta)$ 이므로, $S \subseteq \mathrm{span}(\beta)$ 이다. 따라서 $V = \mathrm{span}(\beta)$ 이다.

 

따라서, $\beta \subseteq S$ 인 $V$ 의 기저 $\beta$ 가 존재한다.