선형대수학, 그 네 번째 이야기 | 선형결합(Linear combination)

선형결합은 선형대수학에 있어서 가장 중요한 개념일 것이다. 그렇기에 그 정의와 활용에 대해 잘 숙지할 필요가 있다.

 

$V$ 를 체 $F$ 위의 벡터 공간이라고 하자. 이 때, 벡터 $v \in V$ 가 유한한 개수의 벡터 $u_1, u_2, \cdots, u_n \in W$ 와 $a_1, a_2, \cdots, a_n \in F$ 에 대해 $v = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n$ 을 만족한다면 $v$ 를 $u_1, u_2, \cdots, u_n$ 의 선형결합 이라고 부르고, $a_1, a_2, \cdots a_n$ 을 선형결합의 계수(coefficients) 라고 부른다.

 

어떤 벡터 공간 $V$ 를 잡아도, 영벡터에 대해서는 $\forall v \in V, 0v = 0$ 이 성립한다.

그렇기에, 영벡터는 유한한 개수의 벡터 $v_1, v_2, \cdots, v_n \in V$ 를 임의로 설정해도 그들의 선형결합이 된다.

 

여기서, 우리는 선형결합을 이용한 한가지 중요한 정의를 해야 할 필요가 있다.

 

$S$ 를 벡터 공간 $V$ 의 공집합이 아닌 부분집합이라고 하자. 이 때, $S$ 의 선형생성(span)은 $\mathrm{span}(S)$ 라 쓰고, $S$ 의 모든 벡터들의 선형 결합을 모아놓은 집합이라고 정의한다. 또한 편의를 위해, $\mathrm{span}(\varnothing) = {0}$ 이라고 정의한다.

 

$\mathrm{span}$ 에 대해서는, 다음과 같은 정리가 성립한다.

 

체 $F$ 위의 벡터 공간 $V$ 의 부분집합 $S$ 에 대해, $\mathrm{span}(S)$ 는 $V$ 의 부분 공간이다.      또한, $V$ 의 부분 공간 $W$ 에 대해 $S \subseteq W$ 라면 $\mathrm{span}(S) \subseteq W$ 이다.

 

Proof

 

만약 $S = \varnothing$ 이라면 $\mathrm{span}(S) = {0}$ 이므로, 자명하게 $V$ 의 부분공간이다. 또한, 모든 $V$ 의 부분공간도 $0$ 을 원소로 가지므로 $\mathrm{span}(S) \subseteq W$ 이다.

 

이제 $S \neq \varnothing$ 이라면, $\mathrm{span}(S)$ 의 임의의 원소 $x, y$ 를 잡을 수 있다.

 

$\mathrm{span}$ 의 정의에 의해, 아래 조건을 만족하는 $u_1, u_2, \cdots, u_m, v_1, v_2, \cdots, v_n \in S$ 와 $a_1, a_2, \cdots a_m, b_1, b_2, \cdots, b_n \in F$ 가 존재한다. $$x = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots+ a_m u_m$$ $$y = b_1 v_1 + b_2 v_2 + \cdots b_n v_n$$ 이 때, $$x + y = a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots a_m u_m + b_1 v_1 + b_2 v_2 + \cdots b_n v_n$$ 이고, 임의의 $c \in F$ 에 대해 $$cx = (ca_1) u_1 + (ca_2) u_2 + \cdots + (ca_m) u_m$$ 이다.

이들은 분명히 $S$ 의 원소들의 선형결합이므로, $x + y, cx \in \mathrm{span}(S)$ 이다. 또한, $0 \in \mathrm{span}(S)$ 는 자명하므로 $\mathrm{span}(S)$ 는 벡터 공간이다. 따라서, $\mathrm{span}(S)$ 는 $V$ 의 부분 공간이다.

 

이제,$V$ 의 부분 공간이면서, $S \subseteq W$ 인 벡터 공간 $W$ 를 생각하자. 만약 $w \in \mathrm{span}(S)$ 라면, 어떤 $c_1, c_2, \cdots c_k \in F$ 와 $w_1, w_2, \cdots w_k \in S$ 에 대해 $$w = c_1 w_1 + c_2 w_2 + \cdots c_k w_k$$ 라고 쓸 수 있다. 그런데 $S \subseteq W$ 이므로 $w_1, w_2 \cdots w_k \in W$ 이다. 따라서, $$w = c_1 w_1 + c_2 w_2 + \cdots c_k w_k$$ 는 $W$ 의 원소이다. ($W$ 가 벡터 공간이므로 덧셈과 상수곱에 대해 닫혀 있음을 상기하자)

 

그런데 우리는, $w$ 를 $\mathrm{span}(S)$ 의 임의의 원소라고 설정했는데, $w \in W$ 라는 결과를 얻었다.

따라서, $\mathrm{span}(S) \subseteq W$ 이다.

 

 

위의 정리들을 보고, 우리는 아래와 같은 정의를 하나 더 하자.

 

체 $F$ 위의 벡터 공간 $V$ 의 부분집합 $S$ 에 대해, 만약 $\mathrm{span}(S) = V$ 라면 $S$ 가 $V$ 를 $\mathrm{span}$ 한다고 말한다. (혹자는 이를 generate 한다고 부르나, 자주 쓰이는 표기는 아니다)