선형대수학, 그 첫 번째 이야기 | 벡터 공간(Vector Space)

체 $F$ 에 대해, 다음의 세 가지 요소를 가지는 튜플을 생각하자.

***체는 별도 포스팅 예정, 잘 모르는 사람은 실수집합이라 생각하고 읽어도 괜찮다.

 

1. 집합 $V$      2. $+ : V \times V \rightarrow V$ 인 잘 정의된 함수  $+$      3. $\cdot : F \times V \rightarrow V$ 인 잘 정의된 함수 $\cdot$

 

우리는 위의 튜플이 아래 제시된 8개 조건을 모두 만족할때, 저 튜플에 "벡터 공간"이라는 이름을 붙인다.

벡터 공간의 이름이 "벡터" 공간인 이유는, 벡터 공간에서 $V$ 의 원소들을 벡터라고 정의하기 때문이다.

 

1. $\forall x, y \in V, x + y = y + x$      2. $\forall x, y, z \in V, (x + y) + z = x + (y + z)$      3. $\exists 0 \in V s.t. \forall x \in V, x + 0 = x$      4. $\forall x \in V, \exists y \in V s.t. x + y = 0$      5. $\forall x \in V, 1x = x$      6. $\forall a, b \in F, x \in V, (a \cdot b ) \cdot x = a \cdot (b \cdot x)$      7. $\forall a \in F, x, y \in V, a \cdot (x + y) = a \cdot x + a \cdot y$      8. $\forall a, b \in F, x \in V, (a + b) \cdot x = a \cdot x + b \cdot x$

 

이 때, $x + y$ 를 두 벡터의 합이라고 하고, $a \cdot x$ 를 벡터의 상수곱이라고 한다.

그러나 상수곱을 나타내는 연산자 $\cdot$ 의 경우, 이후에 정의역부터 다른 같은 모양의 연산자를 채용하므로 표기상의 오해가 생길 가능성이 크다. 그렇기에, 이후로 상수곱 연산자의 경우 생략하여 $a \cdot x$ 를 $ax$ 처럼 쓰겠다.

 

그리고 기본적인 물리학적 벡터를 다룰 때 보았을 법한 꼴에 대해 부가적인 설명을 하겠다.

$a_1, a_2, \cdots, a_n \in F$ 에 대해 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 과 같은 꼴을 가지는 object를 우리는 $F$ 의 원소로 이루어진 $n$-tuple 이라 부른다. 여기서 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 은 원소(entries, components) 라고 부른다. 만약 두 개의  $F$ 의 원소로 이루어진 $n$-tuple $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$ 과 $(b_1, b_2, \cdots, b_n)$ 을 같다(equal) 라고 하려면, $a_i = b_i$ 가 $i = 1, 2, \cdots, n$ 에 대해 성립해야 한다.