선형대수학, 그 첫 번째 이야기 | 벡터 공간(Vector Space)

체 $F$ 에 대해, 다음의 세 가지 요소를 가지는 튜플을 생각하자.

***체는 별도 포스팅 예정, 잘 모르는 사람은 실수집합이라 생각하고 읽어도 괜찮다.

 

1. 집합 $V$      2. $+:V\times V\to V$ 인 잘 정의된 함수  $+$      3. $\cdot :F\times V\to V$ 인 잘 정의된 함수 $\cdot$

 

우리는 위의 튜플이 아래 제시된 8개 조건을 모두 만족할때, 저 튜플에 "벡터 공간"이라는 이름을 붙인다.

벡터 공간의 이름이 "벡터" 공간인 이유는, 벡터 공간에서 $V$ 의 원소들을 벡터라고 정의하기 때문이다.

 

1. $\mathrm{\forall }x,y\in V,x+y=y+x$      2. $\mathrm{\forall }x,y,z\in V,(x+y)+z=x+(y+z)$      3. $\mathrm{\exists }0\in Vs.t.\mathrm{\forall }x\in V,x+0=x$      4. $\mathrm{\forall }x\in V,\mathrm{\exists }y\in Vs.t.x+y=0$      5. $\mathrm{\forall }x\in V,1x=x$      6. $\mathrm{\forall }a,b\in F,x\in V,(a\cdot b)\cdot x=a\cdot (b\cdot x)$      7. $\mathrm{\forall }a\in F,x,y\in V,a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y$      8. $\mathrm{\forall }a,b\in F,x\in V,(a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x$

 

이 때, $x+y$ 를 두 벡터의 합이라고 하고, $a\cdot x$ 를 벡터의 상수곱이라고 한다.

그러나 상수곱을 나타내는 연산자 $\cdot$ 의 경우, 이후에 정의역부터 다른 같은 모양의 연산자를 채용하므로 표기상의 오해가 생길 가능성이 크다. 그렇기에, 이후로 상수곱 연산자의 경우 생략하여 $a\cdot x$ 를 $ax$ 처럼 쓰겠다.

 

그리고 기본적인 물리학적 벡터를 다룰 때 보았을 법한 꼴에 대해 부가적인 설명을 하겠다.

$a_1,a_2,\cdots ,a_n\in F$ 에 대해 $(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ 과 같은 꼴을 가지는 object를 우리는 $F$ 의 원소로 이루어진 $n$-tuple 이라 부른다. 여기서 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 은 원소(entries, components) 라고 부른다. 만약 두 개의  $F$ 의 원소로 이루어진 $n$-tuple $(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ 과 $(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$ 을 같다(equal) 라고 하려면, $a_i=b_i$ 가 $i=1,2,\cdots ,n$ 에 대해 성립해야 한다.