선형대수학, 그 세 번째 이야기 | 부분 공간(Subspace)

어떤 체 $F$ 위의 벡터 공간 $V$ 를 생각해보자. 이 때, $V$ 의 부분집합 $W$ 도 $F$ 위의 벡터 공간이 된다면, $W$ 를 $V$ 의 부분 공간(Subspace)이라 부른다.

 

이 때, $W$ 가 가지는 덧셈과 상수곱 연산자는 $V$ 의 덧셈과 상수곱 연산자와 같아야 부분 공간이라 부른다.

 

다행히도, $W$ 의 모든 원소는 $V$ 의 원소이고, 정의되는 덧셈과 상수곱 연산도 $V$ 와 $W$ 가 같으므로 $W$ 가 벡터 공간임을 확인하려면 우리는 다음 세 가지만 확인하면 충분하다.

 

1. 모든 $x, y \in W$ 에 대해, $x + y \in W$      2. 모든 $c \in F$ 와 $x \in W$ 에 대해 $cx \in W$ 이다.      3. $W$ 는 영벡터를 가진다.

 

여기서 우리는, $V$ 와 $W$ 의 영벡터가 반드시 같아야 한다는 것을 알 수 있고, 이는 다음처럼 증명 가능하다.

 

Proof

 

$0_V$ 를 $V$ 의 영벡터, $0_W$를 $W$ 의 영벡터라고 하자.

 

이 때 $\forall v \in V, v - v = 0_V$ 이고, $\forall w \in W, w - w = 0_W$ 이다.

 

$W \subseteq V$ 이고, $W \neq \varnothing$ 이므로 $u \in W$ 이면 $u \in V$ 이고,

 

$0_V = u - u = 0_W$ 가 성립하므로 $0_V = 0_W$ 가 되어 두 벡터 공간의 영벡터는 같다.

 

여기서 $W$ 가 공집합이 아니어야 하는 이유를 혹시라도 모르겠다면, 선형대수학 카테고리의 첫 번째 글로 돌아가서 천천히 여기까지 다시 읽어보는 것이 좋다.

 

 

부분 공간에 대해서는 다음과 같은, 어쩌면 직관적인 성질이 성립한다.

 

$V$ 의 임의의 두 부분 공간 $U$ 와 $W$ 에 대해, $U \cap W$ 는 $V$ 의 부분공간이다.

 

Proof

 

$C$ 를, $V$ 의 모든 부분 공간들의 집합이라고 생각하자. 즉, 집합을 원소로 가지는 집합이다. 우리는 $C$ 에서 임의의 두 원소 $U$ 와 $W$ 를 선택하면  $U \cap W$ 또한 $V$ 의 부분 공간임을 보이고 싶다.

 

모든 $V$ 의 부분 공간은 $V$ 와 같은 영벡터를 가짐을 증명했으므로, $0 \in U \cap W$ 는 자명하다.

 

이제 $x, y \in U \cap W$ 라고 가정해보자. 이 때, $x \in U, y \in U$ 이므로 벡터 공간의 정의에 의해 $x + y \in U$ 이다. 또한, $x + y \in W$ 이므로 $x + y \in U \cap W$ 가 성립한다.

 

이제 $x \in U \cap W$ 와 $a \in F$ 를 생각해보자. 이 때 $x \in U$ 이므로 $ax \in U$ 이고, 마찬가지로 $ax \in V$ 이므로 $ax \in U \cap W$ 가 성립한다.

 

따라서, 우리는 $U \cap W$ 가 반드시 $V$ 의 부분공간이 됨을 알 수 있다.

 

 

만약 $U \cap V$ 가 공집합이 될 수 없는 이유를 모르겠다면, 선형대수학 카테고리의 1번 글부터 읽는것을 권한다.