선형대수학, 그 아홉 번째 이야기 | 무한 차원 벡터 공간

앞선 글에서 진행되었던 몇 가지 중요한 벡터 공간의 성질들은 항상 유한 차원에서 진행되었다는 것을 알 수 있다. 이 글에서는 이를 무한 차원으로 확장하려고 한다. 그를 위해서는 알아야 할 지식들이 몇 가지 있다.

 

어떤 집합 $X$ 의 집합족 $\mathcal{F}$ 는 $X$ 의 부분 집합중 일부를 원소로 가지는 집합이다.      즉, $\mathcal{F}$ 는 $X$ 의 멱집합의 부분집합, 즉 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}(X)$ 이다.

 

여기서 $X$ 의 멱집합이란 $X$ 의 모든 부분집합을 원소로 가지는 집합이고, $\mathcal{P}(X)$ 처럼 쓴다.

우리는 집합족 $\mathcal{F}$ 에 대해 maximal 이라는 것을 정의한다.

 

$\mathcal{F}$ 라는 집합족에 대해, $M\in \mathcal{F}$ 가 maximal 이라고 불리려면      $\mathcal{F}$ 의 $M$ 이 아닌 원소가 $M$ 을 부분집합으로 가지지 않아야 한다.

 

즉, $M$ 을 포함하는 $\mathcal{F}$ 의 원소는 $M$ 자신이 유일하다는 것이다. 또한 우리는 집합을 원소로 가지는 집합에 대해, 사슬(Chain) 이라는 것을 정의할 수 있다. 사슬은 Nest 나 Tower 이라고 불리기도 한다.

 

$\mathcal{C}$ 가 사슬이라고 불리기 위해서는, $\mathcal{C}$ 의 임의의 두 원소 $A,B$ 에 대해      $A\subseteq B$ 혹은 $B\subseteq A$ 가 성립해야 한다.

 

 

우리는 위의 두 정의를 통해 Maximal Principle 이라 불리는 아래의 명제를 생각할 수 있다.

$\mathcal{F}$ 가 집합족이라고 하자. 임의의 사슬 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{F}$ 에 대해      모든 $\mathcal{C}$ 의 원소를 부분집합으로 가지는 $\mathcal{F}$ 의 원소가 존재한다면      $\mathcal{F}$ 는 반드시 maximal 을 가진다.

 

이것은 다른 공리로부터 유도될 수 있는 명제로, 그 증명은 이 글의 정리에서 $\subseteq$ 를 순서로 준 것이다.

 

따라서 이를 기반으로 하여 극대 선형 독립 부분집합 (maximal linearly independent subset) 을 정의할 수 있다.

 

$S$ 가 벡터 공간 $V$ 의 부분집합이라고 하자. 이 때 $S$ 의 극대 선형 독립 부분집합이란      다음의 두 가지 조건을 모두 만족하는 $S$ 의 부분집합 $B$ 이다.      1. $B$ 는 선형 독립이다.      2. $S$ 의 부분집합 중 선형 독립이며 $B$ 를 부분집합으로 가지는 것은 $B$ 뿐이다.

 

위의 정의는 maximal 의 정의와 굉장히 흡사해보이며, 그렇기 때문에 이를 maximal linearly independent subset 이라고 부르는 것이다.

 

위의 정의로부터, 우리는 벡터 공간의 기저와 관련한 다음 정리를 증명할 수 있다.

 

$V$ 가 벡터 공간이고, $S$ 가 $V$ 를 $\mathrm{span}$ 한다고 하자.     $S$ 의 maximal linearly independent subset $\beta$ 는 $V$ 의 기저이다.

 

Proof

 

$\beta$ 가 $S$ 의 maximal linearly independent subset 이므로, 정의에 의해 우리는 $\beta$ 가 $V$ 를 $\mathrm{span}$ 함을 보이면 $\beta$ 는 $V$ 의 기저이다. 따라서 우리는 $S\subseteq \mathrm{span}(\beta )$ 를 보일 것이다. 이것으로 충분함은 이 글의 첫 번째 정리에 의해 보장된다.

 

$v\in S$ 이고 $v\notin \mathrm{span}(\beta )$ 인 $v$ 의 존재를 가정하자. 이 글의 마지막 정리에 의해, $\beta \cup \{v\}$ 는 선형 독립이다. 그런데 이는 $\beta$ 가 maximal linearly independent subset 임에 모순이다. 따라서 $S\subseteq \mathrm{span}(\beta )$ 이고, $\mathrm{span}(S)=V$ 이므로, $\mathrm{span}(\beta )=V$ 이다.

 

따라서 $\beta$ 는 $V$ 의 기저이다.

 

이제 무한 차원 벡터 공간에서 성립하는 아주 훌륭한 정리 하나를 소개할 준비가 되었다.

 

$S$ 가 벡터 공간 $V$ 의 선형 독립인 부분집합이라고 하자.      이 때 $V$ 는 $S$ 를 부분집합으로 가지는 maximal linarly independent subset 을 가진다.

 

Proof

 

$\mathcal{F}$ 를 $V$ 의 선형 독립이고, $S$ 를 부분집합으로 가지는 모든 집합을 원소로 가지는 집합이라고 하자. 이 때 $S\subseteq \mathcal{F}$ 임은 정의에 의해 자명하다.

 

이제 $\mathcal{F}$ 가 maximal 을 가짐을 보이자. 그렇다면 임의의 사슬 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{F}$ 에 대해, $U\subseteq \mathcal{F}$ 가 존재하여 $\mathcal{C}$ 의 모든 원소를 포함해야 한다.

 

이 때, $U$ 를 $\mathcal{C}$ 의 모든 원소의 합집합이라고 하자. 정의에 의해 $\mathcal{C}$ 의 모든 원소는 $U$ 의 부분집합이다. 따라서 $U\subseteq \mathcal{F}$ 임만 보이면 $\mathcal{F}$ 는 maximal 을 가진다.

 

$\mathcal{F}$ 의 원소인 모든 집합은 정의에 의해 $S$ 를 부분집합으로 가지므로, $S\subseteq U\subseteq V$ 가 성립한다. 따라서, $U$ 가 선형 독립임을 보이면 $U\subseteq \mathcal{F}$ 가 보여진다.

 

어떤 $u_1,u_2,\cdots ,u_n\in U$ 와 $a_1,a_2,\cdots a_n\in F$ 에 대해 ($F$ 는 $\mathcal{F}$ 와 다르다. $F$ 는 $V$ 가 정의된 체이다) $$a_1{u}_1+a_2{u}_2+\cdots +a_n{u}_n=0$$ 이라고 하자. $u_i\in U$ ($i=1,2,\cdots ,n$) 이기 때문에, 어떤 $A_i\subseteq \mathcal{C}$ 가 존재하여 $u_i\in A_i$ 이다. ($i=1,2,\cdots ,n$) 그런데 $\mathcal{C}$ 가 사슬이기 때문에, 어떤 $A_k$ 가 존재하여 $A_i\subseteq A_k$ 라고 할 수 있다. ($i=1,2,\cdots ,n$)

 

그런데 $A_k$ 는 선형 독립인 집합이므로, $a_1{u}_1+a_2{u}_2+\cdots +a_n{u}_n=0$ 은 $a_1=a_2=\cdots =a_n=0$ 을 의미한다. 따라서 $U$ 는 선형 독립이다.

 

그러므로, maximal principle 에 의해 $\mathcal{F}$ 는 maximal 을 가진다. 그리고 $\mathcal{F}$ 의 maximal 은 분명히 $S$ 를 부분집합으로 가지는 $V$ 의 maximal linearly independent subset 이다. 따라서 본래 명제는 참이다.

 

 

위의 정리가 훌륭하다고 한 이유는, 이것이 모든 벡터 공간이 기저가 존재함을 보장하기 때문이다.

 

모든 벡터 공간은 기저를 가진다

 

Proof

 

공집합은 분명히 선형 독립인 집합이다. 그렇기에 벡터 공간 $V$ 의 선형 독립인 부분집합 $\varnothing$ 에 대해, 우리는 $\varnothing$ 을 부분집합으로 가지는 $V$ 의 maximal linearly independent subset 을 생각할 수 있다. 그런데 $V$ 는 $V$ 로 $\mathrm{span}$ 되므로, $V$ 의 maximal linearly independent subset 은 $V$ 의 기저이다.

 

공집합을 부분집합으로 가지지 않는 벡터 공간은 존재하지 않으므로, 모든 벡터 공간은 기저를 가진다.

 

 

또한 우리는 Replacement Theorem 과 유사한 방법으로 무한 차원 벡터 공간 $V$ 의 기저가 같은 기수를 가짐을 보일 수 있다. 이는 독자에게 맡긴다.