선형대수학, 그 열한 번째 이야기 | Dimension Theorem

한국어로는 계수 - 퇴화차수 정리라고 번역되는 정리이다. 이 정리를 보기 위해서 우선 두 가지 간단한 정의를 알아보자.

 

$V$ 와 $W$ 가 벡터 공간이고, $T : V \rightarrow W$ 가 선형이라고 하자.      만약 $R(T)$ 와 $N(T)$ 가 유한 차원이라면, 우리는 $T$ 에 대해 nullity 와 rank 를 정의할 수 있다.      $T$ 의 nullity 는 $\mathrm{nullity}(T)$ 라 쓰고, $\mathrm{dim}(N(T))$ 이다.      $T$ 의 rank 는 $\mathrm{rank}(T)$ 라 쓰고, $\mathrm{dim}(R(T))$ 이다.

 

그리고 우리는, $R(T)$ 와 $N(T)$ 의 차원에 대해 Dimension Theorem 을 얻는다.

 

$V$ 와 $W$ 가 벡터 공간이고, $T : V \rightarrow W$ 가 선형이라고 하자. $V$ 가 유한 차원이라면,      $\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \mathrm{dim}(V)$ 가 성립한다.

 

Proof

 

$\mathrm{dim}(V) = n, \mathrm{nullity}(T) = k$ 라고 두자. 또, $\{v_1, v_2, \cdots, v_k \}$ 를 $N(T)$ 의 기저라고 하자. Replacement theorem 에 의해, 우리는 $\{v_1, v_2, \cdots, v_k \}$ 에 벡터 $n - k$ 개를 추가하여 $\beta = \{v_1, v_2, \cdots, v_n\}$ 가 $V$ 의 기저가 되도록 만들 수 있다.

 

이제 $S = \{T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), \cdots, T(v_n)\}$ 가 $R(T)$ 의 기저가 됨을 보이자. 우선 이 글의 마지막 정리에 의해 $$R(T) = \mathrm{span}(\{T(v_1), T(v_2), \cdots, T(v_n)\})$$ 가 참이고, $v_1, v_2, \cdots, v_k \in N(T)$ 이므로 $$R(T) = \mathrm{span}(\{T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), \cdots, T(v_n)\}) = \mathrm{span}(S)$$ 가 성립한다.

 

이제 $S$ 가 선형 독립임을 보이면 $S$ 가 $R(T)$ 의 기저가 된다. 어떤 $b_{k+1}, b_{k+2}, \cdots, b_n \in F$ 에 대해 $$\sum_{i=k+1}^{n} b_i T(v_i) = 0$$ 이라고 가정하자. $T$ 는 선형이므로, 이는 $$T(\sum_{i=k+1}^{n} b_i v_i) = 0$$ 으로 쓸 수 있고, 따라서 $$\sum_{i=k+1}^{n} b_i v_i \in N(T)$$ 이다. 따라서 어떤 $c_1, c_2, \cdots, c_k \in F$ 가 존재하여 $$\sum_{i=k+1}^{n} b_i v_i = \sum_{i=1}^{k} c_i v_i \Rightarrow \sum_{i=1}^{k} (-c_i)v_i + \sum_{i=k+1}^{n} b_i v_i = 0$$ 이다. $\beta$ 가 $V$ 의 기저이므로, 위의 식에서 $$b_{k+1} = b_{k+2} = \cdots = b_n = c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$$ 을 얻는다. 

 

즉, $\sum_{i=k+1}^{n} b_i T(v_i) = 0$ 이라고 가정하면 $b_{k+1} = b_{k+2} = \cdots = b_n = 0$ 이므로 $S$ 는 선형 독립이다. 즉, $\{T(v_{k+1}), T(v_{k+2}), \cdots, T(v_n)\}$ 가 $R(T)$ 의 기저이므로, $\mathrm{rank}(T) = n - k$ 이다. 따라서 $$\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = k + (n - k) = n = \mathrm{dim}(V)$$ 이다.