선형대수학, 그 열두 번째 이야기 | 선형 변환의 성질

선형 변환도 함수이므로, 선형 변환에 대해 단사나 전사 등을 생각할 수 있다.

전사함수(onto, surjection), 단사함수(one-to-one, injection), 전단사함수(bijection) 의 정의는 이 글을 참조하면 된다.

 

$V$ 와 $W$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이고, $T : V \rightarrow W$ 가 선형이라고 하자.      $T$ 가 one-to-one 임과 $N(T) = \{0\}$ 임은 동치이다.

 

Proof

 

$T$ 가 one-to-one 이라고 가정하고, 임의의 $x\in N(T)$ 를 생각하자. $N(T)$ 의 정의에 의해 $T(x) = 0 = T(0)$ 이다.

 

그런데 $T$ 는 one-to-one 이므로 정의에 의해 $x = 0$ 이다. 따라서 $N(T) = \{0\}$ 이다.

 

이제 $N(T) = \{0\}$ 이라고 하자. 이 때 만약 $x, y \in V$ 에 대해 $T(x) = T(y)$ 라면, $0 = T(x) - T(y) = T(x - y)$ 가 성립한다.

 

따라서 $x-y\in N(T) = \{0\}$ 이므로 $x = y$ 가 되어, $T$ 는 one-to-one 이다.

 

 

그런데, 우리는 one-to-one 과 onto 가 다음의 관계를 만족함을 증명할 수 있다.

 

$V$ 와 $W$ 가 체 $F$ 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 같은 차원을 갖는다고 하자.      $T : V\rightarrow W$ 가 선형이라면, 다음의 세 가지 명제는 동치이다.      1. $T$ 는 one-to-one 이다.      2. $T$ 는 onto 이다.      3. $\mathrm{rank}(T) = \mathrm{dim}(V)$ 이다.

 

Proof

 

Dimension Theorem에 의해 $$\mathrm{nullity}(T) + \mathrm{rank}(T) = \mathrm{dim}(V)$$ 가 성립한다. 그런데 위의 정리에 의해 $T$ 가 one-to-one 이라면 $N(T) = \{0\}$ 이고, dimension theorem에 의해 $$\mathrm{rank}(T) = \mathrm{dim}(R(T)) = \mathrm{dim}(V) = \mathrm{dim}(W)$$ 가 성립한다.

 

$R(T) \subseteq W$ 이고, $\mathrm{dim}(R(T)) = \mathrm{dim}(W)$ 이므로 이 글이 $R(T) = W$ 임을 보장한다. 이는 곧 $T$ 가 onto 임을 의미한다. 따라서 위 세 명제는 모두 동치이다.

 

 

또 우리는 선형 변환을 적절한 조건을 만족하도록 구성할 수 있음을 증명할 수 있다.

 

$V$ 와 $W$ 가 체 $F$ 위의 벡터 공간이고, $\{v_1, v_2, \cdots, v_n\}$ 이 $V$ 의 기저라고 하자.      $w_1, w_2, \cdots, w_n \in W$ 에 대해, 아래 조건을 만족하는 선형인 $T : V \rightarrow W$ 는 유일하게 존재한다.      조건 : $T(v_i) = w_i$ 가 모든 $i = 1, 2, \cdots, n$ 에 대해 성립한다.

 

Proof

 

임의의 $x \in V$ 를 잡으면, 어떤 유일한 $a_1, a_2, \cdots, a_n \in F$ 에 대해 $$x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i$$ 로 쓸 수 있다. 이 때, $T : V \rightarrow W$ 를 $$T(x) = \sum_{i=1}^{n} a_i w_i$$ 라고 정의하자. 이제 이 변환이 우리가 찾는 유일한 선형변환임을 보일 것이다.

 

a. 임의의 $u, v \in V$ 와 $d \in F$ 를 생각하자. 우리는 어떤 $b_1, b_2, \cdots, b_n, c_1, c_2, \cdots, c_n \in F$ 에 대해 $$u = \sum_{i=1}^{n} b_i v_i, \;\;\;\;\;\;\; v = \sum_{i=1}^{n} c_i v_i$$ 처럼 쓸 수 있다. 그렇다면 $$du + v = \sum_{i=1}^{n} (db_i + c_i)v_i$$ 이고, 따라서 $$T(du + v)= \sum_{i=1}^{n} (db_i + c_i)w_i = d\sum_{i=1}^{n} b_i w_i + \sum_{i=1}^{n} c_i w_i = dT(u) + T(v)$$ 이므로, $T$ 는 선형이다.

 

b. $T$ 의 정의에 의해 자명하게 모든 $i = 1, 2, \cdots, n$ 에 대해 $$T(v_i) = w_i$$ 가 성립한다.

 

c. 어떤 $U : V \rightarrow W$ 라는 선형변환이 모든 $i = 1, 2, \cdots, n$ 에 대해 $U(v_i) = w_i$ 를 만족한다고 하자. 그렇다면 $$x = \sum_{i=1}^{n} a_i v_i$$ 에 대하여, $$U(x)= \sum_{i=1}^{n} a_i U(v_i)= \sum_{i=1}^{n} a_i w_i = T(x)$$ 를 얻는다. 따라서 $U = T$ 이다.

 

a, b, c의 논의에 의해, 주어진 정리는 참이다.

 

 

위 정리의 따름정리로 우리는 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.

 

$V$ 와 $W$ 가 벡터 공간이고, $V$ 가 $\{v_1, v_2, \cdots, v_n\}$ 을 기저로 가진다고 하자.      $U, T : V \rightarrow W$ 가 선형이고 $U(v_i) = T(v_i)$ 가 모든 $i = 1, 2, \cdots, n$ 에 대해 참이면 $U = V$ 다.

 

Proof

 

위 정리에 의해 자명하다.