추상대수학, 그 다섯 번째 이야기 | 군의 정의 ( Definition of Group )

저번 글에서 모노이드 (Monoid)에 대해서 다루었다. 이제 모노이드에 조건을 추가하여 군이라는 새로운 구조를 정의할 것이다. 군은 그 자체만으로도 강력한 조건이며, 동시에 상당히 많은 성질을 가지고 있기 때문에 군 그 자체에 대해 연구하는 군론 (Group Theory)이라는 분야도 존재한다. 어떤 모노이드 $\left<G,*\right>$가 다음 조건을 만족할 때 모노이드 $\left<G,*\right>$를 군 (Group)이라고 한다. 특별한 언급이 없는 한, 이 글에서 $e\in G$는 $G$의 항등원을 나타낸다.

 

$$\forall a\in G,\;\exists a'\in G\text{ s.t. } aa'=a'a=e$$

 

즉, 다음 개의 명제를 모두 만족하는 이항구조 $\left<G,*\right>$를 군이라고 한다. 참고로, 아래의 성질들은 모두 대수적 성질이며, 이에 대한 증명은 독자에게 맡기도록 하겠다.

 

1. 연산에 대해 닫혀있음 $$\forall a,b\in G,\;a*b\in G$$ 2. 결합법칙 $$\forall a,b,c\in G,\;(a*b)*c = a*(b*c)$$ 3. 항등원의 존재성 $$\exists e\in G\text{ s.t. }\forall a\in G,\;a*e=e*a=a$$ 4. 역원의 존재성 $$\forall a\in G,\;\exists a'\in G\text{ s.t. }a*a'=a'*a=e$$

 

또한, 위와 같은 조건을 만족하는 $a'$를 $a$의 역원 (Inverse Element; Inverse)이라고 한다.

 

이때, $G$가 항등원만을 원소로 가지는 경우 $\left<G,*\right>$가 자명하게 군이 된다는 사실을 관찰할 수 있다. 자명하게 군이 된다는 의미에서 항등원만을 원소로 가지는 군을 자명군 (Trivial Group)이라고 부르며, 자명군을 $\mathbf{1}$로 표기하기도 한다.

 

위와 같이 군을 정의하면 다음 정리가 성립한다.

 

Theorem 1.

군 $\left<G,*\right>$의 임의의 원소 $a$에 대해 $a$의 역원은 유일하다.

 

Proof:

임의의 $a\in G$에 대해 $a$의 두 역원 $a'$, $a''$을 잡자.

그러면 역원의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$a'=a'e=a'(aa'')=(a'a)a''=ea''=a''$$

따라서 $a'=a''$이며, $a$의 역원은 유일하다.

이때, $a$가 임의의 $G$의 원소이므로 $G$의 모든 원소에 대해 위 논의가 성립한다.

$\blacksquare$

 

Corollary 1.1.

군 $\left<G,*\right>$의 임의의 원소 $a$와 그의 역원 $a'$에 대하여, $a'$의 역원은 $a$이다.

 

Proof:

역원의 정의에 의해 $aa'=a'a=e$이며, 역원의 유일성에 의해 $a'$의 역원은 $a$뿐이라는 것을 알 수 있다. 

$\blacksquare$

 

위 정리에 의해 역원의 유일성이 보장된다. 따라서 $a\in G$의 역원이라는 말은 군 $G$의 한 원소를 특정하며, 그 원소를 나타내는 기호가 있는 편이 후술할 여러 정리들을 서술하는 데에 좋을 것이라는 사실을 알 수 있다. 따라서 $a$의 역원을 $a^{-1}$과 같이 나타내며, $a^{-n}$을 $(a^{-1})^n$으로 정의할 수 있다. 그러면 다음 정리가 성립한다.

 

Theorem 2.

군 $\left<G,*\right>$의 임의의 원소 $a$와 임의의 $n,m\in\mathbb{Z}$에 대해 다음 두 명제가 성립한다. $$a^{n+m}=a^nm^n \\ a^{nm}=(a^n)^m$$

 

이에 대한 증명은 이 글에서의 지수법칙의 증명과 유사하므로 서술하지 않겠다.

 

또한, 이 역원 관계가 두 군 사이의 homomorphism을 통과해도 유지된다는 사실을 알 수 있다. 다음 정리를 보자.

 

Theorem 3.

두 군 $\left<G,*\right>$, $\left<H,*\right>$의 항등원이 각각 $e_G$, $e_H$이라고 하자. 그러면 homomorphism $f:G\to H$에 대해 $f(e_G) = e_H$이 성립하며, 임의의 $g\in G$에 대해 $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$이 성립한다.

 

Proof:

$e_G=e_G * e_G$이므로 $f(e_G) = f(e_G * e_G) = f(e_G) * f(e_G)$이다.

이제 양변에 $f(e_G)$의 역원을 곱해주면 $e_H = f(e_G)$임을 알 수 있다.

이제 임의의 $g\in G$를 생각하자. 그러면 다음이 성립한다. 

$$e_H = f(e_G) = f(g * g^{-1}) = f(g) * f(g^{-1}) \\ e_H = f(e_G) = f(g^{-1} * g) = f(g^{-1}) * f(g)$$

따라서 $f(g)$의 역원은 $f(g^{-1})$이다. 즉, $f(g^{-1}) = f(g)^{-1}$이다.

$\blacksquare$

 

다음은 군의 예시이다.

 

Example 1.

양의 실수의 집합 $\mathbb{R}^+$에 대해 모노이드 $\left<\mathbb{R}^+,\cdot\right>$는 군이다.

 

Proof:

임의의 양의 실수 $x$에 대해 $\frac{1}{x}\cdot x = x \cdot \frac{1}{x} = 1$이 성립한다. 즉, 모든 양의 실수에 대해 곱셈의 역원이 존재한다. 따라서 모노이드 $\left<\mathbb{R}^+,\cdot\right>$는 군이다.

$\blacksquare$

 

Example 2.

정수의 집합 $\mathbb{Z}$에 대해 모노이드 $\left<\mathbb{Z},+\right>$는 군이다.

 

Proof:

임의의 정수 $a$에 대해 $(-a)+a=a+(-a)=0$이 성립한다. 즉, 모든 정수에 대해 덧셈의 역원이 존재한다. 따라서 모노이드 $\left<\mathbb{Z},+\right>$는 군이다.

$\blacksquare$

 

당연하지만, 모든 모노이드가 군이 되는 것은 아니다.

다음은 군이 되지 못하는 모노이드의 예이다.

 

Counterexample 1.

공집합이 아닌 집합 $S$에 대해 모노이드 $\left<\mathcal{P}\left(S\right),\cup\right>$는 군이 아니다.

 

Proof:

$S$가 공집합이 아니므로 $S$의 임의의 부분집합 $X$에 대해 $S\cup X=X\cup S=S\neq\varnothing$이 성립한다. 즉, $S$의 역원이 존재하지 않는다. 따라서 $\left<\mathcal{P}\left(S\right),\cup\right>$는 군이 아니다.

$\blacksquare$

 

Counterexmaple 2.

모든 $n\times n$ 실행렬의 집합 $\mathbb{R}^{n\times n}$에 대해 모노이드 $\left<\mathbb{R}^{n\times n},\cdot\right>$은 군이 아니다.

 

Proof:

선형변환 $O:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$를 $O:\mathbf{v}\mapsto\mathbf{0}$으로 정의하자. 그러면 $O$의 역변환이 존재하지 않으므로 $O$의 행렬표현은 행렬곱셈에 대한 역원을 가지지 않는다. 따라서 모노이드 $\left<\mathbb{R}^{n\times n},\cdot\right>$는 군이 아니다.

$\blacksquare$