추상대수학, 그 열다섯 번째 이야기 | 부분군열과 Solvable Group ( Subgroup Series and Solvable Grou

이번 글에서는 부분군열 즉, subgroup series에 대해 다룰 것이다. 부분군열이란, 이름 그대로 각 항이 이전 항의 부분군이 되는 열을 말한다. 다음 정의를 보자.
 
Definition 1. 부분군열 ( Subgroup Series )

군 $G$가 주어질 때, 아래와 같이 각 항이 이전 항의 부분군인 열이고 첫 항이 $G$인 열을 $G$의 부분군열 ( Subgroup Series )이라고 한다. 일부 서적에서는 이를 Tower of Subgroups라고 칭하기도 한다. $$ G = G_0 \supseteq G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots \supseteq G_m $$ 만일 아래와 같이 어떤 부분군열의 각 항이 이전 항의 정규부분군이라면, 해당 부분군열을 Normal Series 또는 Normal Tower라고 한다. $$ G = G_0 \trianglerighteq G_1 \trianglerighteq G_2 \trianglerighteq \cdots \trianglerighteq G_m $$ 또한, Normal Tower 중, 각 $i$에 대하여 $G_i/G_{i+1}$이 아벨군인 경우를 Abelian Tower라고 부르며, 각 $i$에 대하여 $G_i/G_{i+1}$이 순환군인 경우를 Cyclic Tower라고 부른다.

 
위와 같이 정의된 부분군열은 상당히 중요한 개념으로, 이후 여러 정리에서 등장하게 될 개념인 solvable을 정의하는 데에 사용되는 개념이다. 또한, 위와 같이 정의되는 부분군열은 대수적으로도 의미가 있는 구조이다. 아래의 정리를 보자.
 
Theorem 1.

$f : G \to G'$가 group-homomorphism이고, 부분군열 $G' = G'_0 \supseteq G'_1 \supseteq \cdots \supseteq G'_m$이 normal tower이라고 하자. 이제 각 $i$에 대하여 $G_i = f^{-1}(G'_i)$라고 하면, $G_i$는 normal tower를 형성한다. 또한, 만약 $G'_i$가 abelian tower나 cyclic tower를 형성한다면, $G_i$는 각각 abelian tower나 cyclic tower를 형성한다.

 
Proof.
각 $i$에 대하여 $G_{i+1} \trianglelefteq G_i$가 성립함을 보이자.
그러면 $G'_{i+1} \trianglelefteq G'_i$라는 사실로부터 임의의 $g \in G_i$에 대하여 다음이 성립한다.
$$ f(gG_{i+1}g^{-1}) = f(g)f(G_{i+1})f(g)^{-1} \subseteq f(g)G'_{i+1}f(g)^{-1} = G'_{i+1} $$
따라서 $gG_{i+1}g^{-1} \subseteq f^{-1}(f(gG_{i+1}g^{-1})) \subseteq f^{-1}(G'_{i+1}) = G_{i+1}$이며, 정규부분군의 동치조건에 의해 $G_{i+1} \trianglelefteq G_i$임을 알 수 있다.
위의 논의에 의해 $G_i$가 normal tower를 형성한다는 사실을 알 수 있다.
이제 $\bar{f} : G_i/G_{i+1} \to G'_i/G'_{i+1}$를 $\bar{f} : gG_{i+1} \mapsto f(g)G'_{i+1}$와 같이 정의하자.
그러면 다음이 성립한다.
$$ \begin{array}{ll} \bar{f}(g_1) = \bar{f}(g_2) & \Leftrightarrow f(g_1)G'_{i+1} = f(g_2)G'_{i+1} \\ & \Leftrightarrow f(g_1)f(g_2)^{-1} \in G'_{i+1} \\ & \Leftrightarrow f( g_1 g_2^{-1} ) \in G'_{i+1} \\ & \Leftrightarrow g_1 g_2^{-1} \in G_{i+1} \\ & \Leftrightarrow g_1G_{i+1} = g_2G_{i+1} \end{array} $$
따라서 $\bar{f}$는 단사함수이며, $\bar{f}$가 homomorphism임은 자명하므로 $\bar{f}$는 monomorphism임을 알 수 있다.
그런데, 아벨군의 부분군은 아벨군이며, 순환군의 부분군은 순환군이므로 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 
이제 몇 가지 개념을 추가로 정의하자.
 
Definition 2. Solvable Group

군 $G$를 생각하자. 만약 $G$가 마지막 항이 자명군인 ableian tower를 가진다면, 군 $G$가 Solvable하다고 하고, solvable한 군을 Solvable Group이라고 한다.

 
Definition 3. 부분군열의 Refinement ( Refinement of Subgroup Series )

부분군열 $G = G_0 \supseteq G_1 \supseteq \cdots \supseteq G_m$의 Refinement는 주어진 부분군열에 유한한 수의 부분군을 추가하여 얻을 수 있는 부분군열을 말한다. 예를 들어, 부분군열 $\mathbb{Z}_{16} \supseteq \{ 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 \} \supseteq \{ 0, 4, 8, 12 \} \supseteq \{ 0, 8 \} \supseteq \{ 0 \}$은 부분군열 $\mathbb{Z}_{16} \supseteq \{ 0, 4, 8, 12 \} \supseteq \{ 0 \}$의 refinement이다.

 
위에서 정의한 solvable group이라는 개념은 추후 갈루아 이론을 전개하면서 그 중요성이 드러난다. 따라서 지금 당장은 큰 의미가 없다고 느껴질 수 있지만, 분명 중요한 개념이기에 확실하게 알아두고 넘어가자.
이제 위의 두 가지 개념과 관련된 한 가지 정리를 살펴보자.
 
Theorem 2.

유한군 $G$가 주어졌다고 하자. 그러면, $G$의 abelian tower는 cyclic refinement를 가진다.

 
Proof.
정리를 증명하기에 앞서, 다음 보조정리를 증명하자.
 

임의의 유한 아벨군 $H$에 대하여, $H$는 언제나 마지막 항이 자명군인 cyclic tower를 가진다.

$H$의 위수에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명할 것이다.
먼저, $H$의 위수가 $1$인 경우, 보조정리가 성립함은 자명하다.
이제 $H$의 위수가 $n$이라 하고, 위수가 $k < n$인 임의의 유한 아벨군이 마지막 항이 자명군인 cyclic tower를 가짐을 가정하자.
$H$의 항등원이 아닌 원소 $H \ni x \neq e$를 생각하고, $H$의 순환부분군 $X = \left< x \right>$를 생각하자.
이제 $H' = H/X$라 하면, $H'$이 아벨군임이 자명하므로 귀납가정에 의해 $H'$은 마지막 항이 자명군인 cyclic tower를 가진다.
그 cyclic tower를 $H' = H'_0 \supseteq H'_1 \supseteq \cdots \supseteq H'_m$이라 하자.
이제 homomorphism $f : H \to H'$를 $f : h \mapsto hX$와 같이 정의하고  $H_i = f^{-1}(H'_i)$라고 하면, Theorem 1에 의해 $H = H_0 \supseteq H_1 \supseteq \cdots \supseteq H_m = X$가 cyclic tower가 됨을 알 수 있다.
이때, $X$가 순환군이므로 부분군열 $H = H_0 \supseteq H_1 \supseteq \cdots \supseteq H_m \supseteq \mathbf{1}$은 cyclic tower이며, 따라서 수학적 귀납법에 의해 보조정리가 증명된다.
 
이제 정리의 증명을 시작하자.
유한군 $G$의 부분군열 $G = G_0 \supseteq G_1 \supseteq \cdots \supseteq G_m$이 abelian tower라고 하자.
그러면 $G$가 유한군이라는 사실로부터 각 $i$에 대하여 $G_i / G_{i+1}$이 유한 아벨군임을 알 수 있다.
그러면 보조정리에 의해 각 $i$에 대하여 $G_i / G_{i+1}$의 cyclic tower $G_i / G_{i+1} = H_{i0} \supseteq H_{i1} \supseteq \cdots \supseteq H_{i,m_i} = \mathbf{1}$가 존재한다.
이제 homomorphism $f_i : G_i \to G_i / G_{i+1}$를 $f_i : g \mapsto gG_{i+1}$와 같이 정의하면, Theorem 1에 의해 부분군열 $G_i = f_i^{-1}(H_{i0}) \supseteq f_i^{-1}(H_{i1}) \supseteq \cdots \supseteq f_i^{-1}(H_{i,m_i}) = G_{i+1}$가 cyclic tower임을 알 수 있다.
따라서 위와 같은 방법을 통해 얻어낸 $m$개의 cyclic tower를 이어붙이면 $G = G_0 \supseteq G_1 \supseteq \cdots \supseteq G_m$의 cyclic refinement를 얻을 수 있으며, 따라서 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

Corollary 2.1.

유한군 $G$에 대하여 다음 두 명제는 동치이다. $G$는 solvable group이다. $G$는 마지막 항이 자명군인 cyclic tower를 가진다.

 
이제 solvable group의 중요한 몇 가지 성질에 대해 알아보자. 아래의 정리들을 보자.
 
Theorem 3.

$G$가 solvable group이고 $H$가 $G$의 부분군이라고 하자. 그러면 $H$ 역시 solvable하다.

 
Proof.
$G$가 solvable하므로 $G$는 abelian tower $G = G_0 \supseteq G_1 \supseteq \cdots \supseteq G_m = \mathbf{1}$를 가진다.
이제 각 $i$에 대하여 $H_i$를 $H_i = H \cap G_i$와 같이 정의하자.
그렇게 형성된 부분군열 $H = H_0 \supseteq H_1 \supseteq \cdots \supseteq H_m = \mathbf{1}$가 abelian tower임을 보이면 정리가 증명된다.
먼저, $H_{i+1}$이 $H_i$의 정규부분군임을 보이자.
임의의 $h \in H_i$에 대하여 다음이 성립하므로 $H_{i+1} \trianglelefteq H_i$이다.
$$ \begin{array}{ll} & h H h^{-1} = H, \; h G_{i+1} h^{-1} = G_{i+1} \\ \Rightarrow & h H_{i+1} h^{-1} = h ( H \cap G_{i+1} ) h^{-1} = H \cap G_{i+1} = H_{i+1} \end{array} $$
이제 $\phi : H_i / H_{i+1} \to G_i / G_{i+1}$를 $\phi : hH_{i+1} \mapsto hG_{i+1}$와 같이 정의하자.
그러면 다음이 성립하므로 $\phi$는 단사함수이다.
$$ \begin{array}{lll7l} \phi(h_1 H_{i+1}) = \phi(h_2 H_{i+1}) & \Leftrightarrow h_1 G_{i+1} = h_2 G_{i+1} & \\ & \Leftrightarrow h_1 h_2^{-1} \in G_{i+1} & \\ & \Leftrightarrow h_1 h_2^{-1} \in H_{i+1} & \because h_1, h_2 \in H_i = H \cap G_i \\ & \Leftrightarrow h_1 H_{i+1} = h_2 H_{i+1} & \end{array} $$
또한, $\phi$가 homomorphism임은 자명하므로 $\phi$는 monomorphism이며, 아벨군의 부분군은 언제나 아벨군이므로 $H_i / H_{i+1}$ 역시 아벨군임을 알 수 있다. 즉, 부분군열 $H = H_0 \supseteq H_1 \supseteq \cdots \supseteq H_m = \mathbf{1}$는 abelian tower이며, 따라서 $H$는 solvable group이다.

$\blacksquare$

 
Theorem 4.

군 $G$가 solvable하고, $N$이 $G$의 정규부분군이라고 하자. 그러면 $G/N$ 역시 solvable하다.

 
Proof.
$G$가 solvable하므로 $G$는 abelian tower $G = G_0 \supseteq G_1 \supseteq \cdots \supseteq G_m = \mathbf{1}$를 가진다.
각 $i$에 대해 $L_i$를 $L_i = (NG_i)/N$과 같이 정의하자.
그러면 $L_m = (NG_m)/N = N/N = \mathbf{1}$임은 자명하다.
이제 각 $i$에 대하여 $L_{i+1} \trianglelefteq L_i$임을 보이자.
임의의 $g \in NG_i$에 대하여 다음이 성립한다.
$$ \begin{array}{ll} (gN)L_{i+1}(gN)^{-1} & = (gN)((NG_{i+1})/N)(g^{-1}N) \\ & = (gN) \{ g'N \;|\; g' \in G_{i+1} \} (g^{-1}N) \\ & = \{ (gg'g^{-1})N \;|\; g' \in G_{i+1} \} \\ & \subseteq \{ g'N \;|\; g' \in G_{i+1} \} \\ & = (NG_{i+1})/N \\ & = L_{i+1} \end{array} $$
따라서 각 $i$에 대하여 $L_{i+1} \trianglelefteq L_i$이다.
또한, $L_i = (NG_i)/N = \{ gN \;|\; g \in G_i \}$이므로 $L_i/L_{i+1} \cong G_i/G_{i+1}$임이 자명하다.
따라서 부분군열 $L_0 \supseteq L_1 \supseteq \cdots \supseteq L_m = \mathbf{1}$이 abelian tower임을 알 수 있다.
이때, $L_0 = (NG)/N = G/N$이므로 $G/N$은 solvable하다.

$\blacksquare$

 
Theorem 5.

군 $G$와 그의 정규부분군 $N$이 주어졌다고 하자. 만약 $G/N$과 $N$이 solvable하다면, $G$ 역시 solvable하다.

 
Proof.
$N$과 $G/N$이 solvable하므로 두 abelian tower $N = N_0 \supseteq N_1 \supseteq \cdots \supseteq N_m = \mathbf{1}$, $G/N = G_0/N \supseteq G_1/N \supseteq \cdots \supseteq G_n/N = \mathbf{1}$이 존재한다.
$G/N = G_0/N \supseteq G_1/N \supseteq \cdots \supseteq G_n/N = \mathbf{1}$이 abelian tower이므로 군에서의 제3동형 정리에 의해 부분군열 $G = G_0 \supseteq G_1 \cdots G_n = N$가 abelian tower임을 알 수 있다.
그런데, $N = N_0 \supseteq N_1 \supseteq \cdots \supseteq N_m = \mathbf{1}$이 abelian tower이므로 다음 부분군열은 abelian tower이다.
$$ G = G_0 \supseteq G_1 \cdots G_n = N = N_0 \supseteq N_1 \supseteq \cdots \supseteq N_m = \mathbf{1} $$
따라서 $G$는 solvable하다.

$\blacksquare$

 
Corollary 5.1.

군 $G$와 그의 정규부분군 $N$이 주어졌다고 하자. 그러면 다음 두 명제는 동치이다. $G$가 solvable group이다. $N$과 $G/N$ 모두가 solvable group이다.