추상대수학, 그 열일곱 번째 이야기 | 나비 보조정리; 차센하우스 보조정리 ( Butterfly Lemma; Zassenhaus Lemma )

이번 글에서는 흔히 나비 보조정리라는 이름으로 알려진 정리에 대해 소개할 것이다. 나비 보조정리는 어떤 한 군의 두 부분군과 두 부분군 각각의 정규부분군 사이의 관계를 기술하는 정리로, 그냥 정리만 놓고 보면 쓸모 없어 보이지만 꽤 많은 곳에서 등장하는 정리이다. 나비 보조정리라는 이름이 붙은 것은 이 정리를 나타내는 다이어그램이 나비처럼 생겼기 때문이다. 아래 그림은 나비 보조정리를 나타내는 다이어그램이다.

그러면 이제 본론으로 돌아가서 나비 보조정리가 무엇인지, 어떻게 증명하는지 알아보자.

 

Theorem 1. 나비 보조정리; 차센하우스 보조정리 ( Butterfly Lemma; Zassenhaus Lemma )

군 $G$와 그의 두 부분군 $U$와 $V$가 주어졌고, 정규부분군 $U' \trianglelefteq U$와 $V' \trianglelefteq V$가 주어졌다고 하자. 그러면 다음 세 명제가 모두 성립한다. $$\begin{array}{c} U' \left( U \cap V' \right) \trianglelefteq U' \left( U \cap V \right) \\ \left( U' \cap V \right) V' \trianglelefteq \left( U \cap V \right) V' \\ \left( U' \left( U \cap V \right) \right) / \left( U' \left( U \cap V' \right) \right) \cong \left( \left( U \cap V \right) V' \right) / \left( \left( U' \cap V \right) V' \right) \end{array}$$

 

위 정리에 대한 증명은 두 가지를 서술할 것이다.

Proof 1은 통상적인 증명 방법이며, Proof 2는 서술이 훨씬 간단한 증명 방법이다. 개인적으로는 두 번째 방법을 선호하지만, 대부분의 서적에서 첫 번째 방법으로 소개하기 때문에 두 방법을 모두 서술한다.

 

Proof 1.

정리를 증명하기에 앞서, 다음 보조정리를 증명하자.

 

군 $G$의 두 부분군 $U,V$가 주어지고 $U',V'$가 각각 $U,V$의 정규부분군일 때, $ \left( U' \cap V \right) \left( U \cap V' \right) \trianglelefteq U \cap V $이 성립한다.

임의의 $g \in U \cap V$와 $n \in U' \cap V$에 대하여 다음이 성립한다.

$$ \begin{array}{rl} gng^{-1} \in V & \left( \because g,n \in V \right) \\ gng^{-1} \in U' & \left( \because g \in U, n \in U', U' \trianglelefteq U \right) \end{array} $$

따라서 $U' \cap V \trianglelefteq U \cap V$가 성립한다.

비슷한 방법으로 $U \cap V' \trianglelefteq U \cap V$임을 알 수 있다.

또한, 두 정규부분군의 곱은 정규부분군이므로 $ \left( U' \cap V \right) \left( U \cap V' \right) \trianglelefteq U \cap V $이다.

 

이제 서술의 편의를 위해 $X = \left( U' \cap V \right) \left( U \cap V' \right)$로 두자.

그리고 $\phi : U' \left( U \cap V \right) \to \left( U \cap V \right) / X$를 $\phi : u't \mapsto tX \; \left( u' \in U', t \in U \cap V \right)$와 같이 정의하자.

그러면 다음이 성립하므로 $\phi$는 함수이다.

$$ \begin{array}{ll} u't_1 = u''t_2 & \Rightarrow (u'')^{-1}u' = t_2t_!^{-1} \\ & \Rightarrow t_2t_1^{-1} \in U' \cap (U \cap V) = U' \cap V \\ & \Rightarrow t_2t_1^{-1} \in X \\ & \Rightarrow t_1X = t_2X \\ & \Rightarrow \phi(u't_1) = \phi(u''t_2) \end{array} $$

또한, $U' \trianglelefteq U$라는 사실로부터 다음이 성립하므로 $\phi$는 homomorphism이다.

$$ \begin{array}{ll} \phi(u't_1)\phi(u''t_2) & = (t_1X)(t_2X) \\ & = t_1t_2X \\ & = \phi((u't_1u''t_1^{-1})t_1t_2) \\ & = \phi((u't_1)(u''t_2)) \end{array} $$

이때, $\phi$가 전사함수임은 자명하므로 $\phi$가 epimorphism임을 알 수 있다.

이제 $\phi$의 kernel이 무엇인지 알아보자.

다음이 성립하므로 $\text{ker }\phi \subseteq U' \left( U \cap V' \right)$임을 알 수 있다.

$$ \begin{array}{ll} \phi(u^*t) = X & \Rightarrow t \in X = \left( U' \cap V \right) \left( U \cap V' \right) \\ & \Rightarrow \exists u' \in U' \cap V, t' \in U \cap V' \text{ s.t. } t = u't' \\ & \Rightarrow u^*u't' \in U' \left( U \cap V' \right) \end{array} $$

또한, $\text{ker }\phi \supseteq U' \left( U \cap V' \right)$임은 자명하므로 $\text{ker }\phi = U' \left( U \cap V' \right)$가 성립한다.

따라서 군에서의 제1동형 정리에 의해 $\left( U' \left( U \cap V \right) \right) / \left( U' \left( U \cap V' \right) \right) \cong \left( U \cap V \right) / X$임을 알 수 있다.

비슷하게, $ \left( U \cap V \right) / X \cong \left( \left( U \cap V \right) V' \right) / \left( \left( U' \cap V \right) V' \right) $이며, 따라서 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

Proof 2.

$H = U \cap V$라 하고 $N = U' \left( U \cap V' \right)$라 하자.

그러면 군에서의 제2동형 정리에 의해 $\left(HN\right)/N \cong H / \left( H \cap N \right)$가 성립한다.

이때, $HN = \left( U \cap V \right) U' \left( U \cap V' \right) = U' \left( U \cap V \right) \left( U \cap V' \right) = U' \left( U \cap V \right)$이며, $\left( U' \cap V \right) \left( U \cap V' \right) \subseteq H \cap N$이고, $H \cap N = U \cap V \cap U' \left( U \cap V' \right) \subseteq U \cap \left( U' \cap V \right) \left( U \cap V' \right) = \left( U' \cap V \right) \left( U \cap V' \right)$이므로 $H \cap N = \left( U' \cap V \right) \left( U \cap V' \right)$임을 알 수 있다.

따라서 $\left( U' \left( U \cap V \right) \right) / \left( U' \left( U \cap V' \right) \right) \cong \left( U \cap V \right) / \left( \left( U' \cap V \right) \left( U \cap V' \right) \right)$이며, 대칭성에 의해 $\left( U \cap V \right) / \left( \left( U' \cap V \right) \left( U \cap V' \right) \right) \cong \left( \left( U \cap V \right) V' \right) / \left( \left( U' \cap V \right) V' \right)$ 역시 성립하며, 따라서 정리가 증명된다.

$\blacksquare$