추상대수학, 그 열아홉 번째 이야기 | 군의 부분집합의 Centralizer와 Normalizer ( Centralizer & Normalizer of Subset in Group )

이번 글에서는 군의 부분집합의 centralizer와 normalizer에 대해 알아볼 것이다.

먼저, centralizer가 무엇인지 알아보자.

In this post, we will learn about the centralizer and normalizer of a subset in a group.

First of all, let's find out what centralizer is.

 

Definition 1. Centralizer

The centralizer $\mathrm{C}_G (S)$ of a subset $S$ in a group $G$ is defined as $$ \mathrm{C}_G (S) = \{ g \in G \;|\; \forall s \in S ,\; gs = sg \} = \{ g \in G \;|\; \forall s \in S ,\; gsg^{-1} = s \}. $$ If there is no ambiguity about the group in question, the $G$ can be suppressed from the notation. When $S = \{ a \}$ is a singleton set, we write $\mathrm{C}_G (a)$ instead of $\mathrm{C}_G(\{a\})$. Furthermore, the centralizer of a group $G$ itself is called the center of a group $G$. The center of a group $G$ is denoted by $\mathrm{Z}(G)$. 군 $G$의 부분집합 $S$의 Centralizer $\mathrm{C}_G (S)$는 다음과 같이 정의된다. $$ \mathrm{C}_G (S) = \{ g \in G \;|\; \forall s \in S ,\; gs = sg \} = \{ g \in G \;|\; \forall s \in S ,\; gsg^{-1} = s \} $$ 만약 맥락상 어떤 군에서의 centralizer를 말하는 것인지에 대한 모호함이 없는 경우라면, $\mathrm{C}_G (S)$를 $\mathrm{C} (S)$와 같이 나타내기도 한다. 만약 $S = \{ a \}$가 단원소 집합이라면, $\mathrm{C}_G (\{ a \})$라고 쓰는 대신 $\mathrm{C}_G (a)$라고 쓰기도 한다. 또한, 군 $G$의 centralizer는 $G$의 Center라고 부르며, $\mathrm{Z}(G)$와 같이 나타낸다.

 

이제 centralizer가 무엇인지 알았으니 normalizer가 무엇인지 알아보자.

Now that we know what centralizer is, let's find out what normalizer is.

 

Definition 2. Normalizer

The normalizer $\mathrm{N}_G (S)$ of a subset $S$ in a group $G$ is defined as $$ \mathrm{N}_G (S) = \{ g \in G \;|\; gS = Sg \} = \{ g \in G \;|\; gSg^{-1} = S \}. $$ The same notational conventions mentioned above for centralizers also apply to normalizers. 군 $G$의 부분집합 $S$의 Normalizer $\mathrm{N}_G (S)$는 다음과 같이 정의된다. $$ \mathrm{N}_G (S) = \{ g \in G \;|\; gS = Sg \} = \{ g \in G \;|\; gSg^{-1} = S \} $$ centralizer에서와 같이, 만약 맥락상 어떤 군에서의 normalizer를 말하는 것인지에 대한 모호함이 없는 경우라면, $\mathrm{N}_G (S)$를 $\mathrm{N} (S)$와 같이 나타내기도 하며, $S = \{ a \}$가 단원소 집합이라면, $\mathrm{N}_G (\{ a \})$라고 쓰는 대신 $\mathrm{N}_G (a)$라고 쓰기도 한다.

 

The definitions are similar but not identical. If $g$ is in the centralizer of $S$ and $s$ is in $S$, then it must be that $gs = sg$, but if $g$ is in the normalizer, then $gs = tg$ for some $t$ in $S$, with $t$ possibly different from $s$. That is, elements of the centralizer of $S$ must commute pointwise with $S$, but elements of the normalizer of $S$ need only commute with $S$ as a set.

Now that we have defined centralizer and normalizer, it is time to think about the properties of them. Let's look at the theorem below.

위 두 정의는 비슷해보이지만, 완전히 동일하지는 않다. 만약 $g$가 $S$의 centralizer의 원소이고, $s \in S$라면, $gs = sg$이어야 하지만, $g$가 normalizer의 원소라면, 어떤 $t \in S$에 대하여 $gs = tg$가 성립하는 것으로도 충분하다. 즉, $S$의 centralizer의 원소는 $S$의 각 원소들과 commute하지만, $S$의 normalizer의 원소는 $S$의 각 원소들과 commute할 필요는 없으며, 집합 $S$ 그 자체와 commute하기만 해도 충분하다.

centralizer와 normalizer를 정의했으니 이제 이들의 성질에 대해 알아볼 차례이다. 아래의 정리를 보자.

 

Theorem 1. Properties of Centralizers and Normalizers

Belows are the properties of the centralizers and normalizers: (a) The centralizer and normalizer of subset $S$ in a group $G$ are both subgroups of $G$. (b) The centralizer of $S$ is always a normal subgroup of the normalizer of $S$. (c) $\mathrm{C}_G ( \mathrm{C}_G (S) )$ contains $S$. (d) If $H$ is a subgroup of $G$, then the normalizer of $H$ is the largest subgroup of $G$ in which $H$ is normal. (e) If $S$ is a subset of $G$ such that all elements of $S$ commute with each other, then the centralizer of $S$ is the largest subgroup of $G$ whose center contains $S$. 아래는 centralizer와 normalizer의 성질들이다. (a) 군 $G$의 부분집합 $S$가 주어질 때, $S$의 centralizer와 normalizer는 $G$의 부분군이다. (b) $S$의 centralizer는 항상 $S$의 normalizer의 정규부분군이다. (c) $S \subseteq \mathrm{C}_G ( \mathrm{C}_G (S) )$. (d) $H$가 $G$의 부분군이라면, $H$의 normalizer는 $H$를 정규부분군으로 가지는 $G$의 가장 큰 부분군이다. (e) 군 $G$의 부분집합 $S$에 대하여 $S$의 원소 사이의 교환법칙이 성립한다면, $S$의 centralizer는 center가 $S$를 포함하는 $G$의 가장 큰 부분군이다.

 

Proof.

Part (a), (b), (c)

자명하므로 증명은 독자에게 맡긴다.

Since it is obvious, leave the proof to the readers.

 

Part (d)

$H$가 $\mathrm{N}_G (H)$의 정규부분군임은 자명하다.

이제 $H$를 정규부분군으로 가지는 $K \leq G$를 생각하자.

그러면 임의의 $k \in K$에 대하여 $kHk^{-1} = H$가 성립한다.

따라서 normalizer의 정의에 의해 $K$는 $H$의 normalizer의 부분집합이며, 따라서 $K \leq \mathrm{N}_G (H)$이다.

It is clear that $H$ is normal in the normalizer of $H$.

Now consider a subgroup $K$ of the group $G$ in which $H$ is normal.

Then $kHk^{-1} = H$ holds for every $k \in K$.

Hence, by the definition of normalizer, $K$ is a subset of the normalizer of $H$ and $K$ is therefore a subgroup of $\mathrm{N}_G (H)$.

$\blacksquare$

 

Part (e)

$S$의 원소 사이의 교환법칙이 성립한다면 $S$가 $\mathrm{Z} ( \mathrm{C}_G (S) )$의 부분집합임은 자명하다.

이제 $K$의 center가 $S$를 포함하도록 하는 $K \leq G$를 생각하자.

그러면 임의의 $k \in K$와 $s \in S$에 대하여 $sk = ks$가 성립한다.

따라서 centralizer의 정의에 의해 $K$는 $S$의 centralizer의 부분집합이며, 따라서 $K \leq \mathrm{C}_G (H)$이다.

If all elements of $S$ commute with each other, then it is obvious that the center of the centralizer of $S$ contains the set $S$.

Now let $K$ be a subgroup of the group $G$ whose center contains $S$.

In that condition, $sk = ks$ holds for every $k \in K$ and $s \in S$.

Therefore, by the definition of centralizer, the centralizer of $S$ contains $K$ and, hence, $K$ is a subgroup of the centralizer of $H$.

$\blacksquare$

 

이 외에도 다양한 성질들이 더 있으나, 분량상 생략하도록 하겠다.

In addition, there are various other properties, but they are omitted for concision.