추상대수학, 그 스물한 번째 이야기 | 군의 작용 ( Group Action )

In this post, we will learn about the group action. In mathematics, a group action on a set is a group homomorphism of a given group into the group of permutations of the set. Let's look at the definition below.

이번 글에서는 group action에 대해 알아볼 것이다. 집합 $S$ 위의 group action은 주어진 군에서 $S$ 위의 순열의 군으로 가는 homomorphism을 말한다. 아래의 정의를 보자.

 

Definition 1.

Let $G$ be a group and let $S$ be a set. An action of $G$ on $S$ is a homomorphism $\pi : G \to \operatorname{Perm}(S)$ of $G$ into the group of permutations of $S$. We then call $S$ a $G$-set. We denote the permutation associated with an element $x \in G$ by $\pi_x$ and thus the homomorphism is denoted by $x \mapsto \pi_x$. We often abbreviate the notation and write simply $xs$ instead of $\pi_x(s)$. 군 $G$와 집합 $S$가 주어졌다고 하자. $S$ 위의 $G$의 작용 ( Action )은 $G$에서 $S$의 순열의 군 $\operatorname{Perm}(S)$로 가는 homomorphism $\pi : G \to \operatorname{Perm}(S)$이다. 이러한 action이 주어진 경우, $S$를 $G$-Set이라고 부르며, $x \in G$가 대응되는 순열을 $\pi_x$와 같이 나타내며, 따라서 앞서 언급한 homomorphism은 $x \mapsto \pi_x$로 나타낸다. 일반적으로, group action의 경우, $\pi_x (s)$ 대신에 $xs$와 같이 나타낸다.

 

With the simpoler notation above, we have the two familiar properties. Look at the theorem below:

위의 표기 중 더 간단한 표기를 사용한다면, 두 가지 익숙한 성질을 얻을 수 있다. 아래의 정리를 보자.

 

Theorem 1.

The following statements are satisfied: (a) For all $x,y \in G$ and $s \in S$, we have $x(ys) = (xy)s$. (b) If $e$ is the identity element of $G$, then $es = s$ for all $s \in S$. 아래의 명제들이 성립한다. (a) 임의의 $x,y \in G$와 $s \in S$에 대하여 $x(ys) = (xy)s$가 성립한다. (b) 만약 $e$가 $G$의 항등원이라면, 임의의 $s \in S$에 대하여 $es = s$가 성립한다.

 

Proof.

Part (a)

Since $x \mapsto \pi_x$ is a group-homomorphism, $x(ys) = \pi_x ( \pi_y (s) ) = ( \pi_x \circ \pi_y ) (s) = \pi_{xy} (s) = (xy)s$.

$x \mapsto \pi_x$가 group-homomorphism이므로 $x(ys) = \pi_x ( \pi_y (s) ) = ( \pi_x \circ \pi_y ) (s) = \pi_{xy} (s) = (xy)s$가 성립한다.

 

Part (b)

Since $x \mapsto \pi_x$ is a group-homomorphism, $\pi_e$ must be an identity element of the group $\operatorname{Perm}(S)$. Thus, $\pi_e$ is the identity map on $S$.

$x \mapsto \pi_x$가 group-homomorphism이므로 $\pi_e$는 군 $\operatorname{Perm}(S)$의 항등원이어야 한다. 따라서 $\pi_e$는 $S$ 위의 항등함수이다.

$\blacksquare$

 

Conversely, if we are given a mapping $G \times S \to S$, denoted by $( x , s ) \mapsto xs$, satisfying these two properties, then for each $x \in G$ the map $s \mapsto xs$ is a permuation of $S$, which we then denote by $\pi_x(s)$. Then $x \mapsto \pi_x$ is a homomorphism of $G$ into $\operatorname{Perm}(S)$. So an action of $G$ on $S$ could also be defined as a mapping $G \times S \to S$ satisfying the above two properties. The most important examples of representations of $G$ as a group of permutations are the following.

역으로, 만약 Theorem 1의 두 명제 (a), (b)를 만족하는 사상 $G \times S \to S : ( x , s ) \mapsto xs$가 주어진다면, 각 $x \in G$에 대하여 사상 $s \mapsto xs$는 $S$ 위의 순열임을 알 수 있으며, 이 사상을 $\pi_x$로 나타내게 되면, $x \mapsto \pi_x$는 $G$에서 $\operatorname{Perm}(S)$로 가는 group-homomorphism이 됨을 알 수 있다. 따라서 $S$ 위의 $G$의 action은 위의 두 성질을 만족하는 사상 $G \times S \to S$로 정의할 수도 있다. 아래는 이러한 $G$의 action의 몇 가지 예시이다.

 

Example 1. Conjugation

For each $x \in G$, let $\operatorname{c}_x : G \to G$ be the map such that $\operatorname{c}_x (y) = xyx^{-1}$. Then it is immediately verified that the association $x \mapsto \operatorname{c}_x$ is a homomorphism $G \to \operatorname{Aut}(G)$, and so this map gives an action of $G$ on itself, called conjugation. The kernel of the homomorphism $x \mapsto \operatorname{c}_x$ is a normal subgroup of $G$, which consists of all $x \in G$ such that $xyx^{-1} = y$ for all $y \in G$, i.e., all $x \in G$ which commute with every element of $G$. This kernel is called the center of $G$. automorphisms of $G$ of the form $\operatorname{c}_x$ are called inner.

To avoid confusion about the action on the left, we don't write $xy$ for $\operatorname{c}_x (y)$. Sometimes, one writes $\operatorname{c}_{x^{-1}} (y) = x^{-1}yx = y^x$, i.e., one uses exponential notation, so that we have the rules $y^{xz} = (y^x)^z$ and $y^e = y$ for all $x,y,z \in G$. Similarly, ${}^xy = xyx^{-1}$ and ${}^z(^xy) = {}^{zx}y$.

We note that $G$ also acts by conjugation on the set of subsets of $G$. Indeed, let $S$ be the set of subsets of $G$, and let $A \in S$ be a subset of $G$. Then $xAx^{-1}$ is also a subset of $G$ which may be denoted by $\operatorname{c}_x (A)$, and one verifies trivially that the map $(x,A) \mapsto xAx^{-1}$ of $G \times S \to S$ is an action of $G$ on $S$. We note in addition that if $A$ is a subgroup of $G$ then $xAx^{-1}$ is also a subgroup, so that $G$ acts on the set of subgroups by conjugation.

각 $x \in G$에 대하여 $\operatorname{c}_x : G \to G$를 $\operatorname{c}_x (y) = xyx^{-1}$과 같이 정의되는 함수라고 하자. 그러면 $x \mapsto \operatorname{c}_x$가 $G$에서 $\operatorname{Aut}(G)$로 가는 group-homomorphism이 됨은 자명하며, 이 사상이 켤레라고 불리는, $G$ 위의 $G$의 action을 정의함을 알 수 있다. 이때, $x \mapsto \operatorname{c}_x$의 kernel은 $G$의 정규부분군이 되며, 이를 $G$의 Center라고 한다. 또한, $G$의 Automorphism 중 $\operatorname{c}_x$ 꼴의 함수들을 Inner라고 한다.

왼쪽에서 작용하는 것과 혼동하지 않게 하기 위해 $\operatorname{c}_x (y)$는 $xy$로 나타내지 않는다. 대신 일부 저자들은 $\operatorname{c}_{x^{-1}} (y) = x^{-1}yx = y^x$와 같이 나타내기도 하며, 비슷하게 $\operatorname{c}_x ( y )$는 ${}^x y$와 같이 나타낸다. 당연하지만, 임의의 $x,y,z \in G$에 대하여 $y^{xz} = (y^x)^z$와 $y^e = y$가 성립한다.

$G$는 $G$ 위로 작용할 뿐 아니라 $G$의 멱집합 위로도 작용한다. $S$를 $G$의 모든 부분집합의 집합이라 하고 $A \in S$를 생각하자. 그러면 $xAx^{-1}$ 역시 $G$의 부분집합이 되며, 이를 $\operatorname{c}_x (A)$와 같이 나타낼 수 있다. 그러면 자명하게도 $G \times S \to S : (x,A) \mapsto xAx^{-1}$이 $S$ 위의 $G$의 action이 되며, 만약 $A$가 $G$의 부분군이라면, $xAx^{-1}$ 역시 $G$의 부분군이 되므로 $G$는 그의 부분군의 집합 위로 켤레로서 작용함을 알 수 있다.

 

Example 2. Translation

For each $x \in G$ we define the translation $\operatorname{T}_x : G \to G$ by $\operatorname{T}_x (y) = xy$. Then the map $(x,y) \mapsto xy = \operatorname{T}_x(y)$ defines an action of $G$ on itself.

Similarly, $G$ acts by translation on the set of subsets, for if $A$ is a subset of $G$, then $xA = \operatorname{T}_x (A)$ is also subset of $G$. If $H$ is a subgroup of $G$, then $\operatorname{T}_x (H) = xH$ is in general not a subgroup but a coset of $H$, and hence we see that $G$ acts by translation on the set of cosets of $H$. We denote the set of left cosets of $H$ by $G/H$. Thus even though $H$ need not be normal, $G/H$ is a $G$-set. It has become customary to denote the set of right cosets by $G \backslash H$.

각 $x \in G$에 대하여 $\operatorname{T}_x : G \to G$를 $\operatorname{T}_x (y) = xy$와 같이 정의되는 함수라고 하자. 그러면 $(x,y) \mapsto xy = \operatorname{T}_x(y)$는 $G$ 위의 $G$의 action을 정의한다. 이를 Translation이라고 한다.

비슷하게, $G$는 $G$의 멱집합 위로 translation으로서 작용한다. 만약 $A$가 $G$의 부분집합이라면, $xA = \operatorname{T}_x (A)$ 역시 $G$의 부분집합이다. 또한, 만약 $H$가 $G$의 부분군이라면, $\operatorname{T}_x (H) = xH$는 $H$의 부분군이 아닐 수는 있지만, $H$의 coset이 되며, 따라서 $G$는 $H$의 coset의 집합 위로 translation으로서 작용함을 알 수 있다. 따라서 $H$가 $G$의 정규부분군이 아니라 하더라도 $G/H$가 $G$-set임을 알 수 있다.