추상대수학, 그 열여덟 번째 이야기 | 조르당-횔더 정리 ( Jordan-Hölder Theorem )

이번 글에서는 군론에서 매우 중요한 정리 중 하나인 조르당-횔더 정리에 대한 이야기를 해보려 한다. 조르당-횔더 정리는 임의의 유한군에 대하여 단순군의 곱으로 나타내는 방법이 곱하는 순서를 고려하지 않을 경우에 유일하다는 정리이다. 즉, 조르당-횔더 정리는 산술의 기본정리의 군 버전으로 생각할 수 있다. 그러면 본론으로 들어가기에 앞서, 몇 가지 정의와 정리를 살펴보자.

 

Definition 1.

군 $G$가 주어졌으며, 구 부분군열 $G = G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots \supseteq G_r = \mathbf{1}$, $G = H_1 \supseteq H_2 \supseteq \cdots \supseteq H_s = \mathbf{1}$에 대하여 $r = s$이고, 첨자 $i = 1,2,\cdots,r-1$에 대하여 $G_i / G_{i+1} \cong H_{i'} / H_{i'+1}$을 만족하도록 하는 순열 $i \mapsto i'$이 존재하면 두 부분군열이 Equivalent하다고 한다.

 

 

Lemma 1. 슈라이어-차센하우스 정리 ( Schreier-Zassenhaus Theorem )

$G$가 군이라고 하자. 마지막 항이 자명군인 $G$의 두 Normal Tower는 언제나 equivalent한 refinement를 가진다.

 

Proof.

$G = G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots \supseteq G_r = \mathbf{1}$와 $G = H_1 \supseteq H_2 \supseteq \cdots \supseteq H_s = \mathbf{1}$ 둘 모두가 $G$의 normal tower라고 하자.

이제 각 $i = 1,2,\cdots,r-1$, $j = 1,2,\cdots,s$에 대하여 $G_{ij} = G_{i+1}\left(H_j \cap G_i\right)$라고 하자.

그러면 $G_{is} = G_{i+1}$임을 알 수 있으며, $G = G_{11} \supseteq G_{12} \supseteq \cdots \supseteq G_{1,s-1} \supseteq G_{1,s} = G_2 = G_{21} \supseteq G_{22} \supseteq \cdots \supseteq G_{r-1,1} \supseteq \cdots \supseteq G_{r-1,s-1} \supseteq G_{r-1,s} = G_r = \mathbf{1}$가 $G = G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots \supseteq G_r$의 refinement임을 알 수 있다.

비슷하게 $H_{ji} = H_{j+1}(H_j \cap G_i)$를 정의할 수 있으며, 이를 이용하여 $H = H_1 \supseteq H_2 \supseteq \cdots \supseteq H_s$의 refinement를 얻을 수 있다.

이제 여기에 나비 보조정리를 적용하면, 각 $i=1,2,\cdots,r-1$, $j=1,2,\cdots,s-1$에 대하여 다음을 얻을 수 있다.

$$ G_{ij} / G_{i,j+1} \cong H_{ji} / H_{j,i+1} $$

따라서 두 refinement $\{ G_{ij} \}$와 $\{ H_{ji} \}$는 equivalent하며, 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

Definition 2. 단순군 ( Simple Group )

군 $G$가 자명군이 아니고 $G$의 정규부분군이 자명군과 $G$ 둘 뿐이라면, $G$를 단순군 ( Simple Group )이라고 부른다.

 

여담이지만, 수학자들은 유한단순군의 분류작업을 완료하였으며, 유한단순군은 총 18 개의 무한족의 한 원소이거나, 26개의 산재군 중 하나임이 밝혀졌다. 이는 20세기 수학자들의 가장 위대하고 의미있는 성과 중 하나로 꼽힌다.

 

Lemma 2.

군 $G$와 그의 정규부분군 $H$가 주어졌다고 하자. 그러면 다음 두 명제는 동치이다. (a) $H$가 $G$의 극대 진 정규부분군이다. (b) $G/H$가 단순군이다.

 

Proof.

Part (a) -> (b)

$G/H$의 정규부분군 $L$을 생각하자.

그러면 $\mathbf{1} \leq L \trianglelefteq G/H$로부터 $L \cong N/H$이도록 하는 $H \leq N \trianglelefteq G$이 존재함을 알 수 있다.

이때, $H$가 $G$의 극대 진 정규부분군이므로 $N$은 $H$이거나 $G$이며, 따라서 $L$은 $\mathbf{1}$ 또는 $G/H$가 됨을 알 수 있다.

따라서 $G/H$는 단순군이다.

 

Part (b) -> (a)

$H \leq N \trianglelefteq G$인 $G$의 정규부분군 $N$을 생각하자.

그러면 $\mathbf{1} \leq N/H \trianglelefteq G/H$임을 알 수 있으며, $G/H$가 단순군이라는 사실로부터 $N/H$는 $\mathbf{1}$이거나 $G/H$임을 알 수 있다.

따라서 $N$은 $H$이거나 $G$이다.

또한, $G/H$가 단순군이라는 사실로부터 $H$가 $G$의 진 정규부분군임을 알 수 있으므로 $H$는 $G$의 극대 진 정규부분군임을 알 수 있다.

$\blacksquare$

 

Definition 3. Composition Series

군 $G$가 주어질 때, normal tower $G = H_1 \supseteq H_2 \supseteq \cdots \supseteq H_n = \mathbf{1}$가 다음 조건을 만족할 때, 이 normal tower를 $G$의 Composition Series라고 한다. 각 $i = 1,2,\cdots,n-1$에 대하여 $H_{i+1}$이 $H_i$의 극대 진 정규부분군이다.

 

이제 조르당-횔더 정리를 기술하기 위한 준비작업이 끝났으니 본격적으로 조르당-횔더 정리가 무엇인지에 대해 알아보자. 아래의 정리를 보자.

 

Theorem 1. 조르당-횔더 정리 ( Jordan-Hölder Theorem )

군 $G$가 주어졌다고 하자. 만약 $G = G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots \supseteq G_r = \mathbf{1}$와 $G = H_1 \supseteq H_2 \supseteq \cdots \supseteq H_s = \mathbf{1}$가 $G$의 composition series라면, 이 둘은 equivalent하다.

 

Proof.

Lemma 2에 의해 각 $i$에 대하여 $G_i/G_{i+1}$는 모두 단순군이다. 따라서 Lemma 1에서와 같은 방식으로 $\{ G_i \}$의 세분 $\{ G_{ij} \}$를 구성하면, 각 $i$에 대하여 $G_i / G_{i+1} = G_{ij} / G_{i,j+1}$이 성립하도록 하는 $j$가 정확히 하나씩 존재한다. 즉, $\{ G_{ij} \}$의 몫군의 열에서 자명군을 제외하면 $\{ G_i \}$의 몫군의 열과 일치한다.

그런데, Lemma 1에 의하면, $\{ G_i \}$와 $\{ H_j \}$는 equivalent한 세분을 가지며, $\{ H_j \}$의 세분 $\{ H_{ji} \}$에 대해서도 위와 같은 논의를 할 수 있다.

따라서 $\{ G_i \}$와 $\{ H_j \}$의 몫군의 구성이 일치하며, 이 두 composition series가 equivalent함을 알 수 있다.

$\blacksquare$

 

Corollary 1.1.

유한군 $G$가 주어졌다고 하자. 그러면 $G$의 composition series는 존재하며, $G$의 모든 composition series는 equivalent하다.

 

Proof.

$G$의 모든 composition series가 equivalent하다는 것은 Theorem 1에서 보였으므로 $G$의 composition series가 존재한다는 것만 보이면 충분하다.

$G$의 composition series의 존재성은 $G$의 위수에 대한 귀납법으로 증명할 것이다.

만약 $G$의 위수가 $1$이라면, $G = G_1 = \mathbf{1}$가 $G$의 composition series임이 자명하다.

이제 자연수 $n > 1$에 대하여 위수가 $n$보다 작은 모든 유한군의 composition series가 존재한다고 가정하고, $G$의 위수가 $n$이라고 가정하자.

$G$의 모든 진 정규부분군의 집합 $S$를 생각하자.

만약 $S = \{ \mathbf{1} \}$라면, $G$가 단순군이므로 $G = G_1 \supseteq G_2 = \mathbf{1}$가 $G$의 composition series이다.

만약 $S \neq \{ \mathbf{1} \}$라면, $S$가 유한집합이므로 부분순서집합 $( S , \subseteq )$의 모든 chain은 상계를 가진다.

따라서 초른 보조정리에 의해 $( S , \subseteq )$는 극대원소를 가지며, 그 중 하나를 $G_2$라고 하자.

그러면 $G_2$의 위수는 $n$보다 작으므로 $G_2$의 composition series $G_2 \supseteq G_3 \supseteq \cdots \supseteq G_r = \mathbf{1}$가 존재한다.

이때, $G_2$가 $G$의 극대 진 정규부분군이므로 $G = G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots \supseteq G_r = \mathbf{1}$가 $G$의 composition series임을 알 수 있다.

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 유한군이 composition series를 가진다는 것을 알 수 있다.

$\blacksquare$

 

조르당-횔더 정리와 그의 따름정리 덕에 우리는 임의의 유한군은 단순군의 곱으로 나타낼 수 있으며, 곱하는 순서를 고려하지 않는다면 그 방법이 유일하다는 사실을 알 수 있다.

조르당-횔더 정리와 그의 따름정리를 볼 때 주의해야 할 것은, 모든 군이 composition series를 가지는 것은 아니라는 것이다. 예를 들어, $\mathbb{Z}$는 그의 자명군이 아닌 모든 부분군이 자기자신과 동형이며, 그 자신이 단순군인 것은 아니기 때문에 composition series를 가지지 않는다.