추상대수학, 그 스무 번째 이야기 | Semidirect Product & Direct Product

이번 글에서는 직접곱과 반직접곱에 대한 이야기를 해보려 한다. 역시 선형대수학을 공부해본 독자라면 아마 두 벡터공간의 direct product 혹은 direct sum에 대하여 접해보았을 것이다. 그러나 군에서는 그 정의가 살짝 다르다. 아래의 정의를 보자.

 

Definition 1. Direct Product (Finite)

군 $G_1,G_2,\cdots G_n$에 대하여 다음과 같이 정의되는 $G=G_1\times G_2\times \cdots \times G_n$을 군 $G_1,G_2,\cdots G_n$의 Direct Product라고 한다. (a) 군의 집합으로 $G_1,G_2,\cdots ,G_n$의 Cartesian Product를 가진다. 즉,  $G$는 모든 $i=1,2,\cdots ,n$에 대해 $g_i\in G_i$를 만족하는 $n$-tuple들의 집합이다. (b) 연산은 다음과 같이 정의한다. 각 $G_i$의 연산을 ${\ast }_i$ 라고 하고, $G$의 연산을 $\ast$라고 하자. $$(g_1,g_2,\cdots ,g_n)\ast (h_1,h_2,\cdots ,h_n)=(g_1{\ast }_1{h}_1,g_2{\ast }_2{h}_2,\cdots ,g_n{\ast }_n{h}_n)$$그러면 $G$는 군의 공리를 모두 만족한다.

 

하지만 위와 같이 $n$-tuple을 사용하는 정의는 개수가 유한할 때만 사용할 수 있다는 제한이 있다.

서적에 따라서 함수를 사용하여 이러한 문제를 해결한 정의를 이용하는 경우도 있다.

 

Definition 2. Direct Product / Sum

군의 집합 $G_{i_1},G_{i_2},\cdots$에 대하여 다음과 같이 정의되는 $G=G_{i_1}\times G_{i_2}\times \cdots$을 군 $G_{i_1},G_{i_2},\cdots$의 Direct Product라고 한다. index set $I=\{i_1,i_2,\cdots \}$를 이용하여 $\{G_i{\}}_{i\in I}$의 direct product라고 하기도 한다. (a) 군의 집합으로 $G_1,G_2,\cdots ,G_n$의 cartesian product를 가진다. 즉 $G$를 다음과 같이 함수들의 집합으로 정의한다. $$G=\{f:I\to {\displaystyle \bigcup _{i\in I}{G}_i|\mathrm{\forall }i\in I,f(i)\in G_i\}}$$ (b) 연산은 다음과 같이 정의한다. 각 $G_i$의 연산, 항등원을 각각 ${\ast }_i,1_i$ , $G$의 연산을 $\ast$라고 하자. $$\mathrm{\forall }i\in I,(f\ast g)(i)=f(i){\ast }_{i}g(i)$$ 그러면 $G$는 군의 공리를 모두 만족한다. 또, $$G=\{f:I\to {\displaystyle \bigcup _{i\in I}{G}_i\mid |\{i\in I\mid f(i)\ne 1_i\}|<\mathrm{\infty }\wedge \mathrm{\forall }i\in I,f(i)\in G_i\}}$$ 로 수정하면 이를 Direct Sum이라고 한다.

 

이제 direct product의 정의에 대해 알았으니, semidirect product에 대하여 알아보자.

 

Definition 3. Semidirect Product

군 $H,K$, homomorphism $\varphi :K\to \mathrm{Aut}(H)$가 주어졌을 때, $G=H{⋊}_{\varphi }K$를 $N$과 $H$의 $\varphi$를 통한 Semidirect Product라고 한다. 이때, $\mathrm{Aut}(H)$는 $H$ 위의 Automorphism의 집합이다. (a) 군의 집합으로 $H\times K$를 가진다. (b) 연산은 다음과 같이 정의한다. $H,K,G$의 연산을 각각 ${\ast }_H,{\ast }_K,{\ast }_G$라고 하자. $(h_1,k_1){\ast }_G(h_2,k_2)=(h_1{\ast }_H(\varphi (k_1))(h_2),k_1{\ast }_K{k}_2)$ 그러면 $G$는 군의 공리를 모두 만족한다.

 

주로 $\varphi (k)(h)=kh{k}^{-1}$와 같이 left conjugation action으로 정의하는 경우가 잦고, 이러한 경우 $\varphi$를 생략하여 $H⋊K$라고 쓰기도 한다.

먼저, semidirect product에 관련된 몇 가지 동치 명제들을 알아보고, 그 뒤 연산에 부여되는 homomorphism이 left conjugation action일때 새로이 얻게 되는 동치 명제들에 대하여 알아보자.

 

Theorem 1. Equivalent Propositions

군 $H,K$, Homomorphism $\varphi :K\to Aut(H)$가 주어졌을 때 아래 세 명제는 서로 동치이다. (a) $H{⋊}_{\varphi }K$ 와 $H\times K$ 사이 identity map (항등 사상)은 group-homomorphism이 된다. (b) $\varphi ={\mathrm{id}}_H$이다. ( ${\mathrm{id}}_H$는 $H\to H$로 가는 identity map이다. ) (c) $K^{\prime }=\{(1,k^{\prime })|k^{\prime }\in K\}⊴G=H{⋊}_{\varphi }K$이다.

 

Proof.

Part (a) -> (b)

(a)의 가정에 의하여 $$\mathrm{\forall }{h}_2\in H,\mathrm{\forall }{k}_1\in K,\varphi (k_1)(h_2)=h_2$$

$◼$

Part (b) -> (c)

임의의 $g=(h,k)\in G$, $h=(1,k^{\prime })\in K^{\prime }$에 대하여 $gh{g}^{-1}\in K^{\prime }$를 보이자.

먼저, (b)의 가정에 의하여, $(h,k{)}^{-1}=(h^{-1},k^{-1})$이다.

$$(h,k)(1,k^{\prime })(h,k{)}^{-1}=(h,k{k}^{\prime })(h,k{)}^{-1}=(1,k{k}^{\prime }{k}^{-1})\in K^{\prime }$$

$◼$

Part (c) -> (a)

먼저, $H^{\prime }=\{(h^{\prime },1)|h^{\prime }\in H\}⊴G=H{⋊}_{\varphi }K$ 임을 앞선 논의와 유사하게 얻을 수 있다.

따라서 임의의 $h\in H^{\prime },k\in K^{\prime }$에 대해 교환자 $[h,k]$를 생각하면 $[h,k]\in H\cap K=1$이 되어, $H^{\prime },K^{\prime }$가 가환임을 얻는다.

또, $\varphi$의 함수값은 반드시 homomorphism이 되어야 하므로, 항등원이 항등원으로 대응된다는 사실을 이용할 수 있고, 또한 역원에 대해서도 정보를 얻을 수 있다.

이를 이용하여 다음과 같은 식을 생각하자. $$\begin{array}{rl}(\varphi (k)(h),1)& =(\varphi (k)(h)\varphi (k)(1),k{k}^{-1})=(\varphi (k)(h),k)(1,k^{-1})\\ & =(1,k)(h,1)(1,k^{-1})=(1,k)(h,1)(1,k{)}^{-1}=(h,1)\end{array}$$

위 식은 임의의 $h\in H^{\prime },k\in K^{\prime }$에 대해 성립하므로, $\varphi$가 항등사상이라는 사실을 얻고, 자연스레 (a)를 얻는다.

$◼$

 

이제 $\varphi$가 left conjugation action으로 정의될 때 성립하는 동치인 명제들에 대해 알아보자.

 

Theorem 2. Equivalent Propositions

군 $G$와 이의 항등원 $1$, $H\le G,N⊴G$라고 하자. 그러면 다음 네 명제는 서로 동치이다. (a) $G=NH,N\cap H=1$ (b) $\mathrm{\forall }g\in G,\mathrm{\exists }!n\in N,h\in H:g=nh$ (c) $\mathrm{\forall }g\in G,\mathrm{\exists }!n\in N,h\in H:g=hn$ (d) $\iota :\{\begin{array}{l}H\to G\\ h\mapsto h\end{array}$ , $\pi :\{\begin{array}{l}G\to G/N\\ g\mapsto gN\end{array}$에 대해, $\pi \circ \iota$는 isomorphism이 된다. 그리고 이러한 경우 $G=N⋊H$라고 한다.

 

증명은 어렵지 않으므로 생략한다.

또한, 한 가지 주의할 점은 $\varphi$에 따라 $G=H{⋊}_{\varphi }K$가 달라질 수 있고, 서로 isomorphic하지 않을 수 있다는 것이다.

예를 들어, 위수가 $8$인 순환군과 위수가 $2$인 순환군의 direct product는 이들의 semidirect product이며, 또한, 위수가 $16$인 dihedral group 역시 위수가 $8$인 순환군과 위수가 $2$인 순환군의 semidirect product이다. 그러나, 위수가 $16$인 dihedral group은 아벨군이 아니므로 위수가 $8$인 순환군과 위수가 $2$인 순환군의 direct product와 isomorphic하지 않다.