추상대수학, 그 스무 번째 이야기 | Semidirect Product & Direct Product

이번 글에서는 직접곱과 반직접곱에 대한 이야기를 해보려 한다. 역시 선형대수학을 공부해본 독자라면 아마 두 벡터공간의 direct product 혹은 direct sum에 대하여 접해보았을 것이다. 그러나 군에서는 그 정의가 살짝 다르다. 아래의 정의를 보자.

 

Definition 1. Direct Product (Finite)

군 $G_1,G_2, \cdots G_n$에 대하여 다음과 같이 정의되는 $G = G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n$을 군 $G_1,G_2, \cdots G_n$의 Direct Product라고 한다. (a) 군의 집합으로 $G_1,G_2, \cdots , G_n$의 Cartesian Product를 가진다. 즉,  $G$는 모든 $i = 1,2, \cdots ,n$에 대해 $g_i \in G_i$를 만족하는 $n$-tuple들의 집합이다. (b) 연산은 다음과 같이 정의한다. 각 $G_i$의 연산을 $*_i$ 라고 하고, $G$의 연산을 $*$라고 하자. $$(g_1,g_2, \cdots, g_n) * (h_1,h_2,\cdots, h_n) = (g_1 *_1 h_1, g_2 *_2 h_2, \cdots, g_n *_n h_n)$$그러면 $G$는 군의 공리를 모두 만족한다.

 

하지만 위와 같이 $n$-tuple을 사용하는 정의는 개수가 유한할 때만 사용할 수 있다는 제한이 있다.

서적에 따라서 함수를 사용하여 이러한 문제를 해결한 정의를 이용하는 경우도 있다.

 

Definition 2. Direct Product / Sum

군의 집합 $G_{i_1},G_{i_2}, \cdots$에 대하여 다음과 같이 정의되는 $G = G_{i_1} \times G_{i_2} \times \cdots $을 군 $G_{i_1},G_{i_2}, \cdots $의 Direct Product라고 한다. index set $I = \{ i_1,i_2, \cdots \}$를 이용하여 $\{G_i\}_{i \in I}$의 direct product라고 하기도 한다. (a) 군의 집합으로 $G_1,G_2, \cdots , G_n$의 cartesian product를 가진다. 즉 $G$를 다음과 같이 함수들의 집합으로 정의한다. $$ G = \{ f : I \to \displaystyle\bigcup_{i \in I} G_i \;|\; \forall i \in I, f(i) \in G_i \} $$ (b) 연산은 다음과 같이 정의한다. 각 $G_i$의 연산, 항등원을 각각 $*_i,1_i$ , $G$의 연산을 $*$라고 하자. $$\forall i \in I, (f * g)(i) = f(i) *_i g(i)$$ 그러면 $G$는 군의 공리를 모두 만족한다. 또, $$ G = \{ f : I \to \displaystyle\bigcup_{i \in I} G_i \mid \lvert \{ i \in I \mid f(i) \neq 1_i \} \rvert < \infty \land \forall i \in I, f(i) \in G_i \} $$ 로 수정하면 이를 Direct Sum이라고 한다.

 

이제 direct product의 정의에 대해 알았으니, semidirect product에 대하여 알아보자.

 

Definition 3. Semidirect Product

군 $H,K$, homomorphism $\phi : K \to \operatorname{Aut}(H)$가 주어졌을 때, $G = H \rtimes_{\phi} K$를 $N$과 $H$의 $\phi$를 통한 Semidirect Product라고 한다. 이때, $\operatorname{Aut}(H)$는 $H$ 위의 Automorphism의 집합이다. (a) 군의 집합으로 $H \times K$를 가진다. (b) 연산은 다음과 같이 정의한다. $H,K,G$의 연산을 각각 $*_H,*_K,*_G$라고 하자. $(h_1,k_1) *_G (h_2,k_2) = (h_1 *_H (\phi(k_1))(h_2), k_1 *_K k_2 )$ 그러면 $G$는 군의 공리를 모두 만족한다.

 

주로 $\phi(k)(h) = khk^{-1}$와 같이 left conjugation action으로 정의하는 경우가 잦고, 이러한 경우 $\phi$를 생략하여 $H \rtimes K$라고 쓰기도 한다.

먼저, semidirect product에 관련된 몇 가지 동치 명제들을 알아보고, 그 뒤 연산에 부여되는 homomorphism이 left conjugation action일때 새로이 얻게 되는 동치 명제들에 대하여 알아보자.

 

Theorem 1. Equivalent Propositions

군 $H,K$, Homomorphism $\phi : K \to Aut(H)$가 주어졌을 때 아래 세 명제는 서로 동치이다. (a) $H \rtimes_{\phi} K$ 와 $H \times K$ 사이 identity map (항등 사상)은 group-homomorphism이 된다. (b) $\phi = \operatorname{id}_H$이다. ( $\operatorname{id}_H$는 $H \to H$로 가는 identity map이다. ) (c) $K' = \{ (1,k') | k' \in K \} \trianglelefteq G = H \rtimes_{\phi} K $이다.

 

Proof.

Part (a) -> (b)

(a)의 가정에 의하여 $$ \forall h_2 \in H, \forall k_1 \in K, \phi(k_1)(h_2) = h_2 $$

$\blacksquare$

Part (b) -> (c)

임의의 $g = (h,k) \in G$, $h = (1,k') \in K'$에 대하여 $ghg^{-1} \in K'$를 보이자.

먼저, (b)의 가정에 의하여, $(h,k)^{-1} = (h^{-1},k^{-1})$이다.

$$(h,k)(1,k')(h,k)^{-1} = (h,kk')(h,k)^{-1} = (1,kk'k^{-1}) \in K'$$

$\blacksquare$

Part (c) -> (a)

먼저, $H' = \{ (h',1) | h' \in H \} \trianglelefteq G = H \rtimes_{\phi} K $ 임을 앞선 논의와 유사하게 얻을 수 있다.

따라서 임의의 $h \in H' , k \in K'$에 대해 교환자 $[h,k]$를 생각하면 $[h,k] \in H \cap K = 1 $이 되어, $H',K'$가 가환임을 얻는다.

또, $\phi$의 함수값은 반드시 homomorphism이 되어야 하므로, 항등원이 항등원으로 대응된다는 사실을 이용할 수 있고, 또한 역원에 대해서도 정보를 얻을 수 있다.

이를 이용하여 다음과 같은 식을 생각하자. $$\begin{align*}(\phi(k)(h),1) &= (\phi(k)(h) \phi(k)(1), kk^{-1}) = (\phi(k)(h),k)(1,k^{-1}) \\ &= (1,k) (h,1)(1,k^{-1}) = (1,k)(h,1)(1,k)^{-1} = (h,1)\end{align*}$$

위 식은 임의의 $h \in H' , k \in K'$에 대해 성립하므로, $\phi$가 항등사상이라는 사실을 얻고, 자연스레 (a)를 얻는다.

$\blacksquare$

 

이제 $\phi$가 left conjugation action으로 정의될 때 성립하는 동치인 명제들에 대해 알아보자.

 

Theorem 2. Equivalent Propositions

군 $G$와 이의 항등원 $1$, $H \leq G , N \trianglelefteq G$라고 하자. 그러면 다음 네 명제는 서로 동치이다. (a) $G = NH, N \cap H = 1$ (b) $\forall g \in G, \exists ! n \in N, h \in H : g = nh$ (c) $\forall g \in G, \exists ! n \in N, h \in H : g = hn$ (d) $\iota : \begin{cases} H \to G \\ h \mapsto h \end{cases}$ , $\pi : \begin{cases} G \to G/N \\ g \mapsto gN \end{cases}$에 대해, $\pi \circ \iota$는 isomorphism이 된다. 그리고 이러한 경우 $G = N \rtimes H$라고 한다.

 

증명은 어렵지 않으므로 생략한다.

또한, 한 가지 주의할 점은 $\phi$에 따라 $G = H \rtimes_{\phi} K $가 달라질 수 있고, 서로 isomorphic하지 않을 수 있다는 것이다.

예를 들어, 위수가 $8$인 순환군과 위수가 $2$인 순환군의 direct product는 이들의 semidirect product이며, 또한, 위수가 $16$인 dihedral group 역시 위수가 $8$인 순환군과 위수가 $2$인 순환군의 semidirect product이다. 그러나, 위수가 $16$인 dihedral group은 아벨군이 아니므로 위수가 $8$인 순환군과 위수가 $2$인 순환군의 direct product와 isomorphic하지 않다.