추상대수학, 그 스물두 번째 이야기 | 안정자군과 궤도 ( Stabilizer Subgroup & Orbit )

Following the last post, this post will explain the stabilizer subgroup. Let's look at the definition below.

저번 글에 이어서, 이번 글에서는 안정자군에 대해 설명할 것이다. 아래의 정의를 보자.

 

Definition 1. Stabilizer Subgroup

Let $G$ be a group and $S$ be a $G$-set. Let $s \in S$. The set of elements $x \in G$ such that $xs = s$ is obviously a subgroup of $G$, called the stabilizer subgroup of $G$ with respect to $s$, or isotropy group of $s$ in $G$, and denoted by $G_s$. 군 $G$와 $G$-Set $S$가 주어졌으며, $s \in S$라고 하자. 그러면 $xs = s$가 되도록 하는 $x \in G$의 집합이 $G$의 부분군이 됨은 매우 당연하며, 이 부분군을 $G$의 $s$에 대한 안정자군 ( Stabilizer Subgroup ) 또는 $G$에서의 $s$의 Isotropy Group이라고 부르며, $G_s$와 같이 쓴다.

 

When $G$ acts on itself by conjugation, then the isotropy group of an element is none other than the normalizer of this element. Similarly, when $G$ acts on the set of subgroups by conjugation, the isotropy group of a subgroup is again its normalizer.

Now that we know what stabilizer subgroup is, let's find out the properties of stabilizer subgroup. Look at the theorems below.

$G$가 자기자신 위로 켤레로서 작용할 때, 어떤 원소에 대한 안정자군은 다름 아닌 그 원소의 Normalizer이며, 이와 비슷하게, $G$가 부분군의 집합 위로 켤레로서 작용하는 경우에는 어떤 부분군에 대한 안정자군은 그 부분군의 normalizer이다.

이제 안정자군이 무엇인지 알았으니, 안정자군의 성질들에 대해 알아보자. 아래의 정리들을 보자.

 

Theorem 1.

Let a group $G$ act on a set $S$. Let $s,s'$ be elements of $S$ and $y$ an element of $G$ such that $ys = s'$. Then $G_{s'} = yG_sy^{-1}$. 군 $G$와 $G$-set $S$가 주어졌다고 하자. 만약 $s$와 $s'$이 $S$의 원소이고 $y \in G$에 대하여 $ys = s'$이 성립한다면, $G_{s'} = yG_sy^{-1}$이 성립한다.

 

Proof.

Let $x$ be an element of $G$ such that $xs' = s'$. Then $xys = ys \Leftrightarrow y^{-1}xys = s \Leftrightarrow y^{-1}xy \in G_s \Leftrightarrow x \in yG_sy^{-1}$. Therefore, $G_{s'}$ is equal to $yG_sy^{-1}$.

$x$를 $xs' = s'$이 성립하도록 하는 $G$의 원소라고 하자.  그러면 $xys = ys \Leftrightarrow y^{-1}xys = s \Leftrightarrow y^{-1}xy \in G_s \Leftrightarrow x \in yG_sy^{-1}$가 성립하므로 $G_{s'}$은 $yG_sy^{-1}$이다.

$\blacksquare$

 

Theorem 2.

Let $K$ be the kernel of the action $G \to \operatorname{Perm}(S)$ of $G$ on $S$. Then directly from the definitions, we obtain that $K = \displaystyle \bigcap_{s \in S} G_s$. $K$를 $S$ 위의 $G$의 action $G \to \operatorname{Perm}(S)$의 Kernel이라고 하자. 그러면 정의로부터 $K = \displaystyle \bigcap_{s \in S} G_s$이다.

 

Proof.

Let $s \in S$ and $x \in K$. Since $K$ is the kernel of the action $G \to \operatorname{Perm}(S)$, $xs = s$. Hence, $x \in G_s$ for all $s \in S$. Therefore, $x \in \displaystyle \bigcap_{s \in S} G_s$ and, hence, $K \subseteq \displaystyle \bigcap_{s \in S} G_s$.

Let $x \in \displaystyle \bigcap_{s \in S} G_s$. Then $xs = s$ for all $s \in S$. So, $x$ is an element of the kernel of the action $G \to \operatorname{Perm}(S)$. Therefore, $x \in K$ and, hence, $\displaystyle \bigcap_{s \in S} G_s \subseteq K$.

Therefore, $K = \displaystyle \bigcap_{s \in S} G_s$.

$s \in S$이고 $x \in K$라고 하자. 그러면 $K$가 action $G \to \operatorname{Perm}(S)$의 kernel이라는 것으로부터 $xs = s$임을 알 수 있다. 따라서 임의의 $s \in S$에 대하여 $x \in G_s$가 성립함을 알 수 있으며, 따라서 $K \subseteq \displaystyle \bigcap_{s \in S} G_s$이다.

이제 $x \in \displaystyle \bigcap_{s \in S} G_s$라고 하자. 그러면 임의의 $s \in S$에 대하여 $xs = s$가 성립하므로 $x$는 action $G \to \operatorname{Perm}(S)$의 kernel의 원소가 됨을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle \bigcap_{s \in S} G_s \subseteq K$이다.

위 두 사실을 종합하면 $K = \displaystyle \bigcap_{s \in S} G_s$임을 알 수 있다.

$\blacksquare$

 

Definition 2. Orbit

Let a group $G$ act on a set $S$ and let $s \in S$. The subset of $S$ consisting of all elements $xs$ with $x \in G$ is denoted by $Gs$, and is called the orbit of $s$ under $G$. 군 $G$가 집합 $S$ 위로 작용한다고 하고 $s \in S$라고 하자. 그러면 $S$의 부분집합 $\{ xs \;|\; x \in G \}$을 $Gs$와 같이 나타내고, 이를 $G$ 아래에서의 $s$의 궤도 ( Orbit )라고 한다.

 

Theorem 3.

If $G$ is a group acting on a set $S$ and $s \in S$, then the order of the orbit $Gs$ is equal to the index $\left( G : G_s \right)$. 만약 $G$가 집합 $S$ 위로 작용하는 군이고 $s \in S$라면, 궤도 $Gs$의 위수는 지표 $\left( G : G_s \right)$와 같다.

 

Proof.

Since it is obvious, leave the proof to the readers.

비교적 자명하므로, 증명은 독자에게 맡긴다.

 

Theorem 4.

The number of conjugate subgroups to $H$ is equal to the index of the normalizer of $H$. $H$와 켤레관계인 부분군의 개수는 $H$의 normalizer의 지표와 같다.

 

Proof.

Let $a,b \in G$ and $N_H$ be the normalizer of $H$.

Then $a^{-1}Ha = b^{-1}Hb \Leftrightarrow (ab^{-1})^{-1}Hab^{-1} = H \Leftrightarrow ab^{-1} \in N_H \Leftrightarrow a \in N_Hb$.

So, two distinct elements of $G$ will produce the same conjugate of $H$ if and only if they belong to the same right coset of $N_H$.

Thus, the number of conjugate subgroups to $H$ is equal to the number of right cosets of $N_H$, which is the index of the normalizer of $H$. Therefore, $\lvert \{ a^{-1}Ha \mid a \in G \} \rvert = \left( G : N_H \right)$.

$a,b \in G$라고 하고 $N_H$를 $H$의 normalizer라고 하자.

그러면 $a^{-1}Ha = b^{-1}Hb \Leftrightarrow (ab^{-1})^{-1}Hab^{-1} = H \Leftrightarrow ab^{-1} \in N_H \Leftrightarrow a \in N_Hb$이다.

그러므로 $G$의 서로 다른 두 원소가 생성하는 $H$의 켤레가 같은 것은 그 두 원소가 $N_H$의 같은 우잉여류에 속하는 것과 필요충분조건이다.

따라서 $H$와 켤레관계인 부분군의 개수와 $N_H$의 우잉여류의 개수는 같으며, $N_H$의 우잉여류의 개수가 곧 $N_H$의 지표이므로 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

Corollary 4.1.

Let $G$ be a group and $H$ a subgroup of index $2$. Then $H$ is normal in $G$. $H$를 군 $G$의 지표가 $2$인 부분군이라고 하자. 그러면 $H$는 정규부분군이다.

 

Proof.

Note that $H$ is contained in its normalizer $N_H$, so the index of $N_H$ is $1$ or $2$. If the index of $N_H$ is $1$, then we are done.

Suppose it is $2$. Let $G$ act by conjugation on the set of subgroups. The orbit of $H$ has two elements since the Theorem 4, and $G$ acts on this orbit. In this way we get a homomorphism of $G$ into the group of permutations of $2$ elements. Since there is one conjugate of $H$ unequal to $H$, then the kernel of our homomorphism is normal, of index $2$, hence equal to $H$, which is normal, a contradiction which concludes the proof.

$H$가 $H$의 normalizer $N_H$에 포함된다는 사실을 기억해두자. 따라서 $N_H$의 지표는 $1$ 또는 $2$이다. 만약 $N_H$의 지표가 $1$이라면, 증명이 완료된다.

따라서 $N_H$의 지표가 $2$라고 가정하자. 이제 $G$가 그의 부분군의 집합 위로 켤레로서 작용한다고 하자. 그러면 Theorem 4 $H$의 궤도는 두 개의 원소를 가지며, $G$는 이 궤도 위로 작용한다. 이렇게 하면 $G$에서 두 원소의 순열의 군으로의 homomorphism을 얻을 수 있다. $H$와 다른 $H$의 켤레가 단 하나 존재한다는 사실로부터 앞서 얻어낸 homomorphism의 kernel이 정규부분군이며, 그의 지표가 $2$임을 알 수 있고, 따라서 그 kernel은 $H$와 같음을 알 수 있다. 따라서 정리가 증명된다.

$\blacksquare$