추상대수학, 그 스물네 번째 이야기 | 쉴로브 정리 ( Sylow Theorems )

In this post, I would like to talk about Sylow theorems. The Sylow theorems are a collection of theorems named after the Norwegian mathematician Sylow that give detailed information about the number of subgroups of fixed order that a given finite group contains. The Sylow theorems form a fundamental part of finite group theory and have very important applications in the classification of finite simple groups. Before we get to know about Sylow theorems, let's find out what Sylow subgroups are.

이번 글에서는 쉴로브 정리에 대해 알아보려 한다. 쉴로브 정리는 노르웨이 수학자 쉴로브가 제시한 세 개의 정리로, 어떤 유한군의 부분군 중 특정 위수를 가진 부분군의 개수에 대한 정보를 알려주는 정리들이다. 쉴로브 정리는 유한군 이론의 가장 기본적인 정리 중 하나이며, 유한단순군의 분류작업에 사용된 중요한 정리 중 하나이다. 쉴로브 정리에 대해 알아보기에 앞서, 쉴로브 부분군이 무엇인지부터 알아보자.

 

Definition 1. The $p$-Groups & The Sylow $p$-Subgroups

Definition 1. $p$-군과 쉴로브 $p$-부분군 ( $p$-Group & Sylow $p$-Subgroup )

Let $p$ be a prime number. By a $p$-Group, we mean a finite group whose order is a power of $p$ i.e., a finite group whose order is $p^n$ for some integer $n \geq 0$. Let $G$ be a finite group and $H$ a subgroup. We call $H$ a $p$-Subgroup of $G$ if $H$ is a $p$-group. We call $H$ a $p$-Sylow Subgroup if $H$ is a maximal $p$-subgroup of $G$. 소수 $p$가 주어졌다고 하자. 이때, $p$-군 ( $p$-Group )이란, 위수가 $p$의 거듭제곱인 군을 말한다. 즉, 위수가 어떤 정수 $n \geq 0$에 대하여 $p^n$인 군을 $p$-군이라 부른다. 이제 $G$가 유한군이고 $H$는 $G$의 부분군이라고 하자. 만약 $H$가 $p$-군이라면, $H$를 $G$의 $p$-부분군 ( $p$-Subgroup )이라고 부른다. 또한, 만약 $H$가 $G$의 극대 $p$-부분군인 경우, $H$를 $G$의 쉴로브 $p$-부분군 ( Sylow $p$-Subgroup )이라고 한다.

 

이제 본격적으로 쉴로브 정리를 다뤄보자. 쉴로브 정리는 위에서 언급했듯이 총 3개의 정리로 이루어졌으므로 본문을 총 세 개의 파트로 쪼개서 작성해보려 한다. 아래의 목차를 클릭하면 해당 부분을 볼 수 있다.

Now, let's deal with the Sylow theorems. As mentioned above, the Sylow theorems consist of three theorems, so we will divide the text into three parts. Click on the table of contents below to see those parts.

 

Table of Contents

• Part 1. The 1st Theorem
• Part 2. The 2nd Theorem
• Part 3. The 3rd Theorem

 

Part 1.

Before proving the 1st theorem of the Sylow theorems, let's show a lemma to prove it.

쉴로브 정리의 첫 번째 정리를 증명하기에 앞서, 이를 보이기 위한 보조정리 하나를 보이자.

 

Lemma 1.

Let $G$ be a finite abelian group of order $m$, let $p$ be a prime number dividing $m$. Then $G$ has a subgroup of order $p$. 유한 아벨군 $G$의 위수가 $m$이고 소수 $p$가 $m$을 나눈다고 하자. 그러면 $G$는 위수가 $p$인 부분군을 가진다.

 

Proof.

We first prove by induction that if a finite abelian group $G$ has exponent $n$ then the order of $G$ divides some power of $n$. Let $b \in G$, $b \neq 1$, and let $H$ be the cyclic sugroup generated by $b$. (At this point, $1$ means an identity element of $G$.) Then the order of $H$ divides $n$ since $b^n = 1$, and $n$ is a multiple of exponent for $G/H$. Hence the order of $G/H$ divides a power of $n$ by induction hypothesis, and consequently so does the order of $G$ because $\left( G : \mathbf{1} \right) = \left( G : H \right) \left( H : \mathbf{1} \right)$.

Let $G$ have order divisible by $p$. By what we have just seen, there exists $x \in G$ whose order is divisible by $p$. Let this order be $ps$ for some integer $s$. Then $x^s \neq 1$ and obviously $x^s$ has order $p$, and generates a subgroup of order $p$, as was to be shown.

보조정리를 증명하기에 앞서 "만약 $G$가 지수 $n$을 가지면 $G$의 위수는 $n$의 한 거듭제곱을 나눈다."는 명제를 귀납법을 이용하여 보이자. 항등원이 아닌 $b \in G$와 $b$로부터 생성된 순환부분군 $H$를 생각하자. 그러면 $b^n$이 항등원이라는 사실로부터 $H$의 위수가 $n$을 나눈다는 것을 알 수 있으며, $n$이 $G/H$의 지수의 배수가 됨을 알 수 있다. 귀납가정에 의해 $G/H$의 위수가 $n$의 한 거듭제곱을 나누므로 $\left( G : \mathbf{1} \right) = \left( G : H \right) \left( H : \mathbf{1} \right)$에 의해 $G$의 위수 역시 $n$의 한 거듭제곱을 나눈다.

이제 $G$의 위수가 $p$로 나누어진다고 하자. 그러면 방금 보인 사실로부터, $p$가 $\operatorname{ord} x$를 나누는 $x \in G$가 존재한다는 사실을 알 수 있으며, $x$의 위수를 $ps$라고 하면 $x^s$가 항등원이 아니며, $x^s$의 위수가 $p$가 된다는 사실을 쉽게 알 수 있다. 따라서 $x^s$로부터 생성된 순환부분군 $\left< x^s \right>$의 위수가 $p$이며, 따라서 보조정리가 증명된다.

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Theorem 1. The 1st Theorem of Sylow Theorems

Let $G$ be a finite group and $p$ be a prime factor with multiplicity $n$ of the order of $G$. Then there exists a Sylow $p$-subgroup of $G$, of order $p^n$. 유한군 $G$와 $G$의 위수의 소인수 $p$를 생각하자. 만약 $p^n$이 $G$의 위수를 나누고 $p^{n+1}$은 $G$의 위수를 나누지 않는다면, 위수가 $p^n$인 $G$의 쉴로브 $p$-부분군이 존재한다.

 

Proof.

We will prove by induction on the order of $G$. If the order of $G$ is a prime, our assertion is obvious. We now assume given a finite group $G$, and assume that the theorem proved for all groups of order smaller than that of $G$. If there exists a proper subgroup $H$ of $G$ whose index is relatively prime to $p$, then a Sylow $p$-subgroup of $H$ will also be one of $G$, and our assertion follows by induction. We may therefore assume that every proper subgroup of $G$ has an index divisible by $p$. We now let $G$ act on itself by conjugation. From the fact that the set of the orbits under $G$ is a partition of $G$, we obtain $\left( G : \mathbf{1} \right) = \left( Z : \mathbf{1} \right) + \sum \left( G : G_x \right)$.

Here, $Z$ is then center of $G$, and the term $\left( Z : \mathbf{1} \right)$ corresponds to the orbits having one element, namely the element of $Z$. The sum of the right is taken over the other orbits, and each index $\left( G : G_x \right)$ is then $>1$, hence $\sum \left( G : G_x \right)$ is divisible by $p$. Since $\left( G : \mathbf{1} \right)$ is divisible by $p$, $\left( Z : \mathbf{1} \right)$ is also divisible by $p$, hence $G$ has a non-trivial center.

Since $Z$ is a finite abelian group, by the Lemma 1, $Z$ has an element $a \in Z$ whose order is $p$. Let $H$ be the cyclic subgroup generated by $a$. Since $H$ is a subgroup of the center of $G$, $H$ is normal in $G$. Let $f : G \to G/H$ be a canonical map and let $p^n$ be the highest power of $p$ dividing the order of $G$. Then $p^{n-1}$ divides $\left( G : H \right)$. Let $K'$ be a Sylow $p$-subgroup of $G/H$. And let $K = f^{-1}(K')$. Then $H \subseteq K$ and $f$ maps $K$ onto $K'$. Hence we have an isomorphism $K/H \cong K'$ by the first isomorphism theorem for groups. Hence $K$ has order $p^{n-1}p = p^n$, as desired and this proves the theorem.

$G$의 위수에 대한 귀납법을 통해 정리를 증명할 것이다. 만약 $G$의 위수가 소수라면, 정리가 성립함은 자명하다. 이제 유한군 $G$가 주어졌다고 가정하고 위수가 $G$보다 작은 모든 유한군에 대해 정리가 성립한다고 가정하자. 만약 $G$의 진부분군 $H$의 지수가 $p$와 서로소라면 $H$의 위수가 $p^n$인 쉴로브 $p$-부분군은 $G$의 위수가 $p^n$인 쉴로브 $p$-부분군이 될 것이며, 그러한 부분군은 귀납가정에 의해 존재함을 알 수 있다. 따라서 이제 $G$의 모든 진부분군의 지수가 $p$의 배수라고 가정하고 $G$가 자기자신 위로 켤레로서 작용한다고 하자.  그러면 $G$ 아래의 모든 궤도의 집합이 $G$의 분할이 된다는 사실로부터 $\left( G : \mathbf{1} \right) = \left( Z : \mathbf{1} \right) + \sum \left( G : G_x \right)$를 얻을 수 있다.

여기서, $Z$는 $G$의 center이며, 항 $\left( Z : \mathbf{1} \right)$는 단원소 궤도들에 대응된다. 또한 우변의 시그마에서 각 지수 $\left( G : G_x \right)$는 원소가 하나 이상인 나머지 궤도들에 대응되며, 따라서 $\sum \left( G : G_x \right)$는 $p$로 나누어 떨어진다. $\left( G : \mathbf{1} \right)$가 $p$로 나누어 떨어지므로 $\left( Z : \mathbf{1} \right)$ 역시 $p$로 나누어 떨어지며, 따라서 $G$는 비자명 center를 가진다.

$Z$가 유한 아벨군이라는 사실로부터 Lemma 1에 의해 $Z$는 위수가 $p$인 원소 $a \in Z$를 가진다. $H$를 $a$로부터 생성된 순환 부분군이라고 하자. 그러면 $H$가 $G$의 center의 부분군이므로 $H$는 $G$의 정규부분군임을 알 수 있으며, 따라서 자연스러운 대응관계 $f : G \to G/H$가 존재한다. 그러면 귀납가정에 의해 위수가 $p^{n-1}$인 $G/H$의 쉴로브 $p$-부분군 $K'$이 존재하며, $K$를 $K = f^{-1}(K')$와 같이 정의하면 군에서의 제1동형 정리에 의해 $K/H \cong K'$임을 알 수 있다. 따라서 $K$의 위수는 $p^{n-1}p = p^n$이며, 이로 인해 정리가 증명된다.

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Part 2.

Before proving the 2nd theorem of the Sylow theorems, let's show a lemma to prove it.

쉴로브 정리의 두 번째 정리를 증명하기에 앞서, 이를 증명하기 위한 보조정리 하나를 보이자.

 

Lemma 2.

Let $H$ be a finite $p$-group, let $\Omega$ be a finite set acted on by $H$, and let $\Omega_0$ denote the set of points of $\Omega$ that are fixed under the action of $H$. Then $\lvert \Omega \rvert \equiv \lvert \Omega_0 \rvert \left( \operatorname{mod} p \right)$. $H$가 $p$-군이고 $\Omega$가 유한 $H$-Set이며 $\Omega_0$은 $\Omega$ 위로의 $H$의 작용의 고정점의 집합이라고 하자. 그러면 $\lvert \Omega \rvert \equiv \lvert \Omega_0 \rvert \left( \operatorname{mod} p \right)$이다.

 

Proof.

Any element $x \in \Omega$ not fixed by $H$ will lie in an orbit of order $\lvert H \rvert / \lvert H_x \rvert$ (where $H_x$ denotes the stabilizer), which is a multiple of $p$ by assumption. The result follows immediately by writing $\lvert \Omega \rvert$ as the sum of $\lvert Hx \rvert$ over all distinct orbits $Hx$ and reducing mod $p$.

고정점이 아닌 $x \in \Omega$를 생각하자. 그러면 $x$는 위수가 $\lvert H \rvert / \lvert H_x \rvert$인 궤도의 원소임이 자명하다. 단, 여기서 $H_x$는 안정자군을 나타내며, 따라서 $x$는 위수가 $p$의 배수인 궤도의 원소가 된다. 따라서 $\lvert \Omega \rvert$를 모든 궤도 $Hx$에 대하여 $\lvert Hx \rvert$의 합으로 바꾸어 쓰면 보조정리가 증명됨을 알 수 있다.

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Theorem 2. The 2nd Theorem of Sylow Theorems

If $H$ is a $p$-subgroup of $G$ and $P$ is a Sylow $p$-subgroup of $G$, then there exists an element $g$ in $G$ such that $g^{-1}Hg \leq P$. In particular, all Sylow $p$-subgroups of $G$ are conjugate to each other, that is, if $H$ and $K$ are Sylow $p$-subgroups of $G$, then there exists an element $g$ in $G$ with $g^{-1}Hg = K$. $H$가 $G$의 $p$-부분군이고 $P$가 $G$의 쉴로브 $p$-부분군이라고 하자. 그러면 $g^{-1}Hg \leq P$이도록 하는 $g \in G$가 존재한다. 더 나아가서, $G$의 모든 쉴로브 $p$-부분군은 켤레관계에 있다. 즉, $H$와 $K$가 $G$의 쉴로브 $p$-부분군이면 $g^{-1}Hg = K$이도록 하는 $g \in G$가 존재한다.

 

Proof.

Let $\Omega$ be the set of left cosets of $P$ in $G$ and let $H$ act on $\Omega$ by left multiplication. Applying the Lemma 2 to $H$ on $\Omega$, we see $\lvert \Omega_0 \rvert \equiv \lvert \Omega \rvert \equiv \left( G : P \right) \left( \operatorname{mod} p \right)$. Now $p \nmid \left( G : P \right)$ by definition so $p \nmid \lvert \Omega_0 \rvert$, hence in particular $\lvert \Omega_0 \rvert \neq 0$ so there exists some $gP \in \Omega_0$. With this $gP$, we have $hgP = gP$ for all $h \in H$, so $HgP = gP$ and therefore $g^{-1}Hg \leq P$. Furthermore, if $H$ is a Sylow $p$-subgroup, then $\lvert g^{-1}Hg \rvert = \lvert H \rvert = \lvert P \rvert$ so that $g^{-1}Hg = P$.

$G$에서 $P$의 좌잉여류의 집합을 $\Omega$라고 하고 $H$가 $\Omega$에 왼쪽 곱셈으로서 작용한다고 하자. $\Omega$와 $H$에 대하여 Lemma 2를 적용하면 $\lvert \Omega_0 \rvert \equiv \lvert \Omega \rvert \equiv \left( G : P\right) \left( \operatorname{mod} p \right)$임을 알 수 있다. 그런데 $P$의 정의에 의해 $p \nmid \left( G : P \right)$임이 자명하므로 $\lvert \Omega_0 \rvert \neq 0$임을 알 수 있다. 따라서 어떤 $ g \in G$에 대하여 $gP \in \Omega_0$이 성립하며, 따라서 [임의의 $h \in H$에 대해 $hgP = gP$임을 알 수 있다. 이로부터 $HgP = gP$임을 알 수 있으며, 따라서 $g^{-1}Hg \leq P$를 얻는다. 더 나아가서, $H$가 쉴로브 $p$-부분군이라면, $\lvert g^{-1}Hg \rvert = \lvert H \rvert = \lvert P \rvert$이며 이로 인해 $g^{-1}Hg = P$임을 알 수 있다.

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Part 3. The 3rd Theorem of Sylow Theorems

As the above two theorems give information about the order of the Sylow p-subgroup, the last theorem gives information about the number of the Sylow p-subgroup.

위의 두 정리가 쉴로브 p-부분군의 위수에 대한 정보를 준다면, 이번 정리는 쉴로브 p-부분군의 개수에 대한 정보를 준다.

 

Theorem 3.

Let $q$ denote the order of any Sylow $p$-subgroup $P$ of a finite group $G$. Let $n_p$ denote the number of Sylow $p$-subgroups of $G$. Then: (a) $n_p = \left( G : N_G(P) \right)$, (b) $n_p$ divides $\lvert G \rvert / q$, and (c) $n_p \equiv 1 \left( \operatorname{mod} p \right)$. 유한군 $G$의 쉴로브 $p$-부분군 $P$에 대하여 $P$의 위수가 $q$라고 하고 $n_p$가 $G$의 쉴로브 $p$-부분군의 개수를 나타낸다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. (a) $n_p = \left( G : N_G(P) \right)$ (b) $n_p$가 $\lvert G \rvert / q$를 나눈다. (c) $n_p \equiv 1 \left( \operatorname{mod} p \right)$

 

Proof.

Let $\Omega$ be the set of all Sylow $p$-subgroups of $G$ and let $G$ act on $\Omega$ by conjugation. Let $P \in \Omega$ be a Sylow $p$-subgroup. By Theorem 2, the orbit of $P$ has size $n_p$, so by the orbit-stabilizer theorem $n_p = \left( G : G_P \right)$. For this group action, the stabilizer $G_P$ is given by $\{ g \in G \;|\; gPg^{-1} = P \} = N_G(P)$, the normalizer of $P$ in $G$. Thus, $n_p = \left( G : N_G(P) \right)$, and it follows that this number is a divisor of $\left( G : P \right) = \lvert G \rvert / q$.

Now let $P$ act on $\Omega$ by conjugation, and again let $\Omega_0$ denote the set of fixed points of this action. Let $Q \in \Omega_0$ and observe that then $Q = xQx^{-1}$ for all $x \in P$ so that $P \leq N_G(Q)$. By Theorem 2, $P$ and $Q$ are conjugate in $N_G(Q)$ in particular, and $Q$ is normal in $N_G(Q)$, so then $P=Q$. It follows that $\Omega_0 = \{ P \}$ so that by the Lemma 2, $\lvert \Omega \rvert \equiv \lvert \Omega_0 \rvert = 1 \left( \operatorname{mod} p \right)$.

$G$의 모든 쉴로브 $p$-부분군의 집합을 $\Omega$라고 하고 $G$가 $\Omega$ 위로 켤레로서 작용한다고 하자. 그리고 $P \in \Omega$가 $G$의 쉴로브 $p$-부분군이라고 하자. Theorem 2에 의해 $P$의 궤도는 $n_p$개의 원소를 가지므로 궤도-안정자군 정리에 의해 $n_p = \left( G : G_P \right)$가 성립한다. 군의 작용에 대하여 안정자군 $G_P$는 $\{ g \in G \;|\; gPg^{-1} = P \} = N_G(P)$로 주어지므로 $P$의 normalizer임을 알 수 있다. 따라서 $n_p = \left( G : N_G(P) \right)$이며, 이는 곧 $n_p$가 $\left( G : P \right) = \lvert G \rvert / q$의 약수임을 함의한다.

이제 $P$가 $\Omega$ 위로 켤레로서 작용한다고 하고 $\Omega_0$이 이 작용의 고정점의 집합이라고 하자. 이때 $Q \in \Omega_0$이라고 하면 임의의 $x \in P$에 대하여 $Q = xQx^{-1}$이 성립하므로 $P \leq N_G(Q)$임을 알 수 있다. Theorem 2에 의해 $P$와 $Q$는 $N_G(Q)$에서 켤레관계이며, normalizer의 정의에 의해 $Q$가 $N_G(Q)$의 정규부분군이므로 $P = Q$임을 알 수 있다. 이는 곧 $\Omega_0 = \{ P \}$를 의미하며, 따라서 Lemma 2에 의해 $\lvert \Omega \rvert \equiv \lvert \Omega_0 \rvert = 1 \left( \operatorname{mod} p \right)$임을 알 수 있다.

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