추상대수학, 그 스물세 번째 이야기 | 대칭군과 교대군 ( Symmetric Group & Alternating Group )

이번 글에서는 대칭군과 교대군에 대한 이야기를 해보려 한다. 대칭군과 교대군은 특수한 구조를 지니는 군을 가르키는 말이며, 몇 가지 중요한 성질들을 가지고 있기 때문에 꽤 중요하게 다뤄지는 대상이다. 먼저, 대칭군이 무엇인지 알아보도록 하자.

In this post, I would like to talk about symmetric groups and alternating groups. Symmetric groups and alternating groups refer to groups with special structures, and are considered quite important because they have several important properties. First, let's find out what a symmetric group is.

 

Definition 1. 대칭군 ( Symmetric Group )

Definition 1. The Symmetric Group

The symmetric group $S_n$ is the group of permutations of a set with $n$ elements, whose group operation is the composition of functions. At this point, permutations of a set $S$ refer to bijections from the set $S$ to itself. The set with $n$ elements may be taken to the set of integers $J_n = \{ 1,2,\cdots,n \}$. Let $S_n$ be the symmetric group on the set $J_n$. Given any $\sigma \in S_n$, and any integer $i$, $1 \leq i \leq n$, we may form the orbit of $i$ under the cyclic group generated by $\sigma$. Such an orbit is called a cycle for $\sigma$, and may be written $\left( i_1 ~ i_2 ~ \cdots ~ i_r \right)$, so $\sigma(i_1) = i_2, \cdots, \sigma(i_{r-1}) = i_r, \sigma(i_r) = i_1$. Then $J_n$ may be decomposed into a disjoint union of orbits for the cyclic group generated by $\sigma$, and therefore into disjoint cycles. Thus the effect of $\sigma$ on $J_n$ is represented by a product of disjoint cycles. 대칭군 ( Symmetric Group ) $S_n$은 $n$개의 원소로 이루어진 집합의 치환의 군으로 정의된다. 이때, 군에 부여되는 이항연산은 함수의 합성이며, $n$개의 원소로 이루어진 집합은 일반적으로 $J_n = \{ 1,2, \cdots, n \}$을 사용한다. 여기서, 집합 $S$의 치환 ( permutation )이라 함은, $S$에서 $S$ 자신으로 가는 일대일 대응을 말한다. 순열과 같은 의미이며, 특히 대수학 분야에서 이 대상을 치환이라고 부른다. $S_n$을 집합 $J_n$ 위에서 정의된 대칭군이라고 하자. 그러면 임의의 $\sigma \in S_n$과 $1 \leq i \leq n$인 임의의 정수 $i$에 대하여 $\sigma$로부터 생성된 순환군 아래에서 $i$의 궤도를 형성할 수 있을 것이다. 이렇게 형성된 궤도를 $\sigma$의 Cycle이라고 하며, 이를 $\left( i_1 ~ i_2 ~ \cdots ~ i_r \right)$과 같이 나타낸다. 당연하지만, $\left( i_1 ~ i_2 ~ \cdots ~ i_r \right)$가 $\sigma$의 cycle인 경우, $\sigma(i_1) = i_2 , \cdots , \sigma(i_{r-1}) = i_r , \sigma(i_r) = i_1$이다. 이와 같이 cycle이 정의되면, $J_n$은 $\sigma$의 cycle의 disjoint union이 됨은 자명하다. 따라서 $\sigma$는 서로소인 cycle들의 곱으로 나타낼 수 있다.

 

If a symmetric group is defined as described above, a 'sign' may be assigned to each element of the symmetric group, that is, each permutation. Let's look at the theorem and definition below.

위와 같이 대칭군을 정의하면, 대칭군의 각 원소 즉, 각 순열에 '부호'를 부여할 수 있다. 아래의 정리와 정의를 보자.

 

Theorem 1.

There is a unique homomorphism $\varepsilon : S_n \to \{ 1 , -1 \}$ such that for every transposition $\tau$ we have $\varepsilon ( \tau ) = -1$. At this point, a transposition is a permutation such that exchanges two elements and keeps all other elements. 임의의 호환 $\tau$에 대하여 $\varepsilon ( \tau ) = -1$이 성립하도록 하는 group-homomorphism $\varepsilon : S_n \to \{ 1 , -1 \}$이 유일하게 존재한다. 이때, 호환 ( transposition )이라 함은, 정확히 두 원소를 교환하고 나머지 원소는 그대로 두는 치환을 말한다.

 

Proof.

If there is a homomorphism $\varepsilon : S_n \to \{ 1 , -1 \}$ such that for every transposition $\tau$ we have $\varepsilon(\tau) = -1$, then the homomorphism $\varepsilon$ is unique since every permutation can be represented by a product of transpositions. So we have to show that there is a homomorphism satisfying the above conditions.

Let $\Delta$ be the function $\Delta \left( x_1 , \cdots , x_n \right) = \displaystyle \prod_{i < j} \left( x_j - x_i \right)$, the product being taken for all pairs of integers $i,j$ satisfying $1 \leq i < j \leq n$. Let $\tau$ be a transposition, interchanging the two integers $r$ and $s$. Say $r < s$. We wish to determine $\tau \Delta \left( x_1 , \cdots , x_n \right) = \displaystyle \prod_{i < j} \left( x_{\tau(i)} - x_{\tau(j)} \right)$ as a group action. For one factor involving $i=r$, $j=s$, we see that $\tau$ changes the factor $\left( x_s - x_r \right)$ to $-\left( x_s - x_r \right)$. All other factors can be considered in pairs as follows: $$ \begin{array}{l} ( x_k - x_s ) ( x_k - x_r ) \text{ if } k > s, \\ ( x_s - x_k ) ( x_k - x_r ) \text{ if } r < k < s, \\ ( x_s - x_k ) ( x_r - x_k ) \text{ if } k < r \end{array} $$

Each one of these pairs remains unchanged when we apply $\tau$. Hence we see that $\tau \Delta = - \Delta$.

Let $\varepsilon ( \sigma )$ be $1$ or $-1$ such that $\sigma \Delta = \varepsilon(\sigma) \Delta$ for a permutation $\sigma$. $\sigma \Delta$ is defined as the case of transpositions, of course. Since $(\sigma \tau)\Delta = \sigma(\tau\Delta)$, it follos at once that $\varepsilon$ is a homomorphism, and the theorem is proved.

만약 임의의 호환 $\tau$에 대하여 $\varepsilon(\tau) = -1$이 성립하도록 하는 homomorphism $\varepsilon : S_n \to \{ 1 , -1 \}$이 존재한다면, 모든 치환은 유한한 수의 호환의 곱으로 나타낼 수 있으므로 이 조건을 만족하는 homomorphism은 유일하다. 따라서 이런 조건을 만족하는 homomorphism이 존재한다는 것을 보이면 충분하다.

이제 함수 $\Delta$를 $\Delta \left( x_1 , \cdots , x_n \right) = \displaystyle \prod_{i < j } \left( x_j - x_i \right)$로 정의하자. 이때, $i,j$는 $1 \leq i < j \leq n$을 만족하는 두 정수이다. 이제 $\tau$가 $r$와 $s$를 교환하는 호환이라고 하고 $r < s$라고 하자. 이때 $\tau \Delta \left( x_1 , \cdots , x_n \right) = \displaystyle \prod_{i < j} \left( x_{\tau(i)} - x_{\tau(j)} \right)$를 일종의 Group Action으로 바라보자. 그러면 $\tau$가 $\left( x_s - x_r \right)$를 $-\left( x_s - x_r \right)$로 바꾼다는 것을 알 수 있다. 또한, 그 외의 모든 요소들은 다음의 세 가지 경우로 분류할 수 있다. $$ \begin{array}{l} ( x_k - x_s ) ( x_k - x_r ) \text{ if } k > s, \\ ( x_s - x_k ) ( x_k - x_r ) \text{ if } r < k < s, \\ ( x_s - x_k ) ( x_r - x_k ) \text{ if } k < r \end{array} $$

이때, 위의 세 가지는 모두 $\tau$가 적용되어도 변하지 않는다는 사실을 쉽게 알 수 있으며, 따라서 $\tau \Delta = - \Delta$임을 알 수 있다.

이제 치환 $\sigma$에 대하여 $\varepsilon ( \sigma )$에 $\sigma \Delta = \varepsilon(\sigma) \Delta$를 만족하도록 $1$ 또는 $-1$의 값을 부여하자. 당연하지만, 위에서의 $\sigma \Delta$는 호환에 대한 정의와 같은 방식으로 정의된다. 그러면 $(\sigma \tau)\Delta = \sigma(\tau\Delta)$라는 사실로부터 $\varepsilon$이 homomorphism이 된다는 사실을 즉시 알 수 있으며, 따라서 정리가 증명된다.

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Definition 2. 치환의 부호 ( Sign of Permutation )

Definition 2. The Sign of Permutation

Theorem 1에서 정의된 homomorphism $\varepsilon : S_n \to \{ 1 , -1 \}$과 치환 $\sigma \in S_n$에 대하여 $\varepsilon(\sigma)$를 $\sigma$의 부호 ( Sign )라고 부르며, 부호가 $1$인 치환을 짝치환 ( Even Permutation ), 부호가 $-1$인 치환을 홀치환 ( Odd Permutation )이라고 부른다. 또한, $S_n$의 원소 중 짝치환만을 모두 모아놓은 $S_n$의 부분군을 교대군 ( Alternating Group )이라고 부르며, $A_n$으로 나타낸다. For the homomorphism $\varepsilon : S_n \to \{ 1 , -1 \}$ defined in Theorem 1 and a permutation $\sigma \in S_n$, $\varepsilon(\sigma)$ is called the sign of $\sigma$. As a manner of terminology, we call $\sigma$ even if $\varepsilon(\sigma)$ is $1$, and odd if $\varepsilon(\sigma) = -1$. The even permutations constitute the kernel of $\varepsilon$, which is called the alternating group $A_n$.

 

Now that we know what symmetric group and alternating group are, let's find out the properties of them.

이제 대칭군과 교대군이 무엇인지 알았으니 이들의 성질에 대해 알아보도록 하자.

 

Theorem 2.

If $n \geq 5$, then $S_n$ is not solvable. $n \geq 5$라면 $S_n$은 Solvable하지 않다.

 

Proof.

We shall first prove that if $H,N$ are two subgroups of $S_n$ where $n \geq 5$ such that $N \subseteq H$ and $N$ is normal in $H$, if $H$ contains every $3$-cycle and $H/N$ is abelian, then $N$ contains every $3$-cycle. To see this, let $i,j,k,r,s$ be five distinct integers in $J_n$, and let $\sigma = \left( i ~ j ~ k \right)$ and $\tau = \left( k ~ r ~ s \right)$. Then a direct computation gives their commutator $\sigma\tau\sigma^{-1}\tau^{-1} = \left( r ~ k ~ i \right)$. Since the choice of $i,j,k,r,s$ was arbitrary, we see that the cycles $\left( r ~ k ~ i \right)$ all lie in $N$ for all choices of distinct $r,k,i$, thereby proving what we wanted.

Now suppose that we have a tower of subgroups $S_n = H_0 \supseteq H_1 \supseteq \cdots \supseteq H_m = \mathbf{1}$ which is abelian. Since $S_n$ has every $3$-cycle, we conclude that $H_1$ has every $3$-cycle. By induction, we conclude that $H_m = \mathbf{1}$ has every $3$-cycle, which is impossible, thus proving the theorem.

정리의 증명에 앞서, 만약 $H,N$이 $S_n$의 두 부분군이고, $n$이 $5$ 이상이며, $N$이 $H$의 정규부분군이며, $H$가 모든 $3$-cycle을 원소로 가지고 $H/N$이 아벨군이라면, $N$ 역시 모든 $3$-cycle을 원소로 가진다는 사실을 보일 것이다. 이를 보이기 위해, $i,j,k,r,s$를 $J_n$의 서로 다른 $5$개의 정수라고 하고 $\sigma = \left( i ~ j ~ k \right)$, $\tau = \left( k ~ r ~ s \right)$라고 하자. 이제 직접 계산을 해보면 $\sigma$와 $\tau$의 교환자가 $\sigma\tau\sigma^{-1}\tau^{-1} = \left( r ~ k ~ i \right)$임을 알 수 있다. $i,j,k,r,s$의 선택이 임의적이라는 사실로부터, 우리는 임의의 서로 다른 세 정수 $r,k,i$에 대하여 cycle $\left( r ~ k ~ i \right)$가 $N$의 원소가 됨을 알 수 있으며, 따라서 목표했던 명제가 증명된다.

이제 Normal Tower $S_n = H_0 \supseteq H_1 \supseteq \cdots \supseteq H_m = \mathbf{1}$가 abelian tower라고 가정하자. 그러면 $S_n$이 모든 $3$-cycle을 원소로 가진다는 사실로부터 $H_1$ 역시 모든 $3$-cycle을 원소로 가진다는 사실을 알 수 있다. 같은 논리를 유한 번 반복 적용하면, $H_m = \mathbf{1}$ 또한 모든 $3$-cycle을 원소로 가진다는 사실을 알 수 있는데, 이는 자명하게 모순이다. 따라서 정리가 증명된다.

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Theorem 3.

If $n \geq 3$, $A_n$ is generated by the $3$-cycles. 만약 $n \geq 3$이라면, $A_n$은 $3$-cycle들로부터 생성된다.

 

Proof.

Consider the product of two transposition $\left( i ~ j \right) \left( r ~ s \right)$. If they have an element in common, then the product is either the identity permutaion or a $3$-cycle. If they don't have an element in common, then $\left( i ~ j \right) \left( r ~ s \right) = \left( i ~ j ~ r \right) \left( j ~ r ~ s \right)$, so the product of two transposition is also a product of $3$-cycles. Since an even permutation is a product of even transpositions, we are done.

두 호환의 곱 $\left( i ~ j \right) \left( r ~ s \right)$를 생각하자. 만약 이 두 호환이 같은 요소를 공유한다면, 그 둘의 곱은 항등 변환이거나 $3$-cycle이 된다. 만약 이 두 호환이 같은 요소를 공유하지 않는다면, $\left( i ~ j \right) \left( r ~ s \right) = \left( i ~ j ~ r \right) \left( j ~ r ~ s \right)$이므로 두 호환의 곱은 두 $3$-cycle의 곱임을 알 수 있다. 모든 짝치환은 짝수 개의 호환의 곱으로 표현 가능하므로, 정리의 증명이 완료된다.

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Theorem 4.

If $n \geq 5$, all $3$-cycles are conjugate in $A_n$. 만약 $n \geq 5$라면, 임의의 두 $3$-cycle은 $A_n$에서 켤레관계이다.

 

Proof.

Let $\gamma$ be a permutation in $S_n$ and $\left( i_1 ~ i_2 ~ \cdots ~ i_m \right)$ be a cycle. Then $\gamma \left( i_1 ~ i_2 ~ \cdots ~ i_m \right) \gamma^{-1} = \left( \gamma(i_1) ~ \gamma(i_2) ~ \cdots ~ \gamma(i_m) \right)$. Take two $3$-cycles $\left( i ~ j ~ k \right)$ and $\left( i' ~ j' ~ k' \right)$. Then we can find a permutation $\gamma$ such that $\gamma(i) = i'$, $\gamma(j) = j'$, and $\gamma(k) = k'$. If $\gamma$ is an even permutation, then $\left( i ~ j ~ k \right)$ and $\left( i' ~ j' ~ k' \right)$ are conjugate in $A_n$ since $\gamma \left( i ~ j ~ k \right) \gamma^{-1} = \left( i' ~ j' ~ k' \right)$. If $\gamma$ is an odd permutation, then we can choose distinct integers $r,s$ in $J_n$ such that $\left( i ~ j ~ k \right)$ and $\left( r ~ s \right)$ have no common element. Since $\gamma \left( r ~ s \right) (i) = i'$, $\gamma \left( r ~ s \right) (j) = j'$, and $\gamma \left( r ~ s \right) (k) = k'$, $\gamma \left( r ~ s \right) \left( i ~ j ~ k \right) \left( r ~ s \right)^{-1} \gamma^{-1} = \left( i' ~ j' ~ k' \right)$. Therefore, all $3$-cycles are conjugate in $A_n$.

$\gamma$가 $S_n$의 원소이고 $\left( i_1 ~ i_2 ~ \cdots ~ i_m \right)$가 cycle이라고 하자. 그러면 $\gamma \left( i_1 ~ i_2 ~ \cdots ~ i_m \right) \gamma^{-1} = \left( \gamma(i_1) ~ \gamma(i_2) ~ \cdots ~ \gamma(i_m) \right)$임을 알 수 있다. 이제 두 $3$-cycle $\left( i ~ j ~ k \right)$와 $\left( i' ~ j' ~ k' \right)$를 잡자. 그러면 $\gamma(i) = i'$, $\gamma(j) = j'$, $\gamma(k) = k'$을 만족하는 치환 $\gamma \in S_n$를 잡을 수 있다. 만약 그런 $\gamma$가 짝치환이라면, $\gamma \left( i ~ j ~ k \right) \gamma^{-1} = \left( i' ~ j' ~ k' \right)$이므로 $\left( i ~ j ~ k \right)$와 $\left( i' ~ j' ~ k' \right)$는 $A_n$에서 켤레관계이다. 만약 그러한 $\gamma$가 홀치환이라면, $n \geq 5$라는 사실로부터 $i,j,k$와 구분되는 서로 다른 두 정수 $r,s \in J_n$를 잡을 수 있다. 이때, $\gamma \left( r ~ s \right) (i) = i'$, $\gamma \left( r ~ s \right) (j) = j'$, $\gamma \left( r ~ s \right) (k) = k'$이므로 $\gamma \left( r ~ s \right) \left( i ~ j ~ k \right) \left( r ~ s \right)^{-1} \gamma^{-1} = \left( i' ~ j' ~ k \right)$임을 알 수 있으며, 따라서 이 경우에도 $\left( i ~ j ~ k \right)$와 $\left( i' ~ j' ~ k' \right)$는 $A_n$에서 켤레관계이다. 따라서 정리가 증명된다.

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Corollary 4.1.

If a normal subgroup $N$ of $A_n$ contains a $3$-cycle, then $N = A_n$. 만약 $N$이 $A_n$의 정규부분군이고 하나의 $3$-cycle을 원소로 가진다면 $N = A_n$이다.

 

Proof.

Since Theorem 4, every $3$-cycle is in $N$. And also, every even permutation is in $N$ by Theorem 3. Therefore, $N = A_n$ since $N \trianglelefteq A_n$ and $N \supseteq A_n$.

Theorem 4에 의해서 모든 $3$-cycle은 $N$의 원소이다. 또한, Theorem 3에 의해 모든 짝치환이 $N$의 원소이다. 따라서 $N \trianglelefteq A_n$이고 $N \supseteq A_n$이므로 $N = A_n$이다.

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Theorem 5.

If $n \geq 5$ then the alternating group $A_n$ is simple. $n \geq 5$이면 교대군 $A_n$은 단순군이다.

 

Proof.

Let $N \trianglelefteq A_n$ be a nontrivial normal subgroup. We will show that $N=A_n$. The proof now proceeds by cases. In each cases, the normality of $N$ will allow us to reduce the proof to Corollary 4.1 or to one of the previous cases:

$N \trianglelefteq A_n$이 $A_n$의 비자명 정규부분군이라고 하자. 이제 $N = A_n$임을 보일 것이며, 증명은 총 다섯 가지의 케이스로 쪼개서 진행될 것이다. 각 케이스는 Corrollary 4.1으로 환원되거나 다른 케이스로 환원되며, 따라서 정리가 증명되게 된다.

 

Case 1.

Suppose that there is a $\pi \in N$ that, when written as dijoint cycles, has a cycle of length at least $4$, say $\pi = \left( a_1 ~ a_2 ~ a_3 ~ a_4 ~ \cdots \right) \cdots$. Upon conjugation by $\left( a_1 ~ a_2 ~ a_3 \right) \in A_n$, we obtain $\pi' = \left( a_1 ~ a_2 ~ a_3 \right) \pi \left( a_3 ~ a_2 ~ a_1 \right) = \left( a_2 ~ a_3 ~ a_1 ~ a_4 ~ \cdots \right) \cdots$. Hence, $\pi' \in N$, and hence $\pi'\pi^{-1} = \left( a_1 ~ a_2 ~ a_4 \right) \in N$ also. Notice that the rest of the cycles cancel. By Corollary 4.1, $N = A_n$.

길이가 $4$ 이상인 cycle을 가지는 $\pi \in N$가 존재한다고 가정해보자. 그러면 $\pi = \left( a_1 ~ a_2 ~ a_3 ~ a_4 ~ \cdots \right) \cdots$와 같이 표현할 수 있다. 이제 $\pi$에 $\left( a_1 ~ a_2 ~ a_3 \right) \in A_n$에 대한 켤레 연산을 취해주면 $\pi' = \left( a_1 ~ a_2 ~ a_3 \right) \pi \left( a_3 ~ a_2 ~ a_1 \right) = \left( a_2 ~ a_3 ~ a_1 ~ a_4 ~ \cdots \right) \cdots$를 얻을 수 있으며, $N$이 $A_n$의 정규부분군이므로 $\pi' \in N$임을 알 수 있다. 따라서 $\pi'\pi^{-1} = \left( a_1 ~ a_2 ~ a_4 \right) \in N$이 성립함을 알 수 있으며, Corollary 4.1에 의해 $N = A_n$임을 알 수 있다.

 

Case 2.

Suppose that there is a $\pi \in N$ whose disjoint cycle decomposition has at least two cycles of length $3$, say $\pi = \left( a ~ b ~ c \right) \left( d ~ e ~ f \right) \cdots$. Conjugation by $\left( c ~ d ~ e \right) \in A_n$ implies that $N$ also contains $\pi' = \left( c ~ d ~ e \right) \pi \left( e ~ d ~ c \right) = \left( a ~ b ~ d \right)) \left( e ~ c ~ f \right) \cdots$. Hence, $N$ also contains $\pi'\pi = \left( a ~ d ~ c ~ b ~ f \right) \cdots$. This reduces the proof to Case 1.

이번엔 길이가 $3$ 이상인 서로 다른 두 개 이상의 cycle을 가지는 $\pi \in N$가 존재한다고 가정해보자. 그러면 $\pi = \left( a ~ b ~ c \right) \left( d ~ e ~ f \right) \cdots$와 같이 표현할 수 있다. 이제 $\pi$에 $\left( c ~ d ~ e \right) \in A_n$에 대한 켤레 연산을 취해주면 $\pi' = \left( c ~ d ~ e \right) \pi \left( e ~ d ~ c \right) = \left( a ~ b ~ d \right) \left( e ~ c ~ f \right) \cdots$ 역시 $N$의 원소임을 알 수 있다. 따라서 $\pi'\pi = \left( a ~ d ~ c ~ b ~ f \right) \cdots \in N$임을 알 수 있고, 따라서 Case 1의 상황으로 환원된다.

 

Case 3.

Suppose that there is a $\pi \in N$ such that the disjoint cycle decomposition has one cycle of length $3$ and transposition of even number (can be zero). Then $\pi\pi$ is a cycle of length $3$. By Corollary 4.1, $N = A_n$.

이번엔 disjoint cycle decomposition이 정확히 한 개의 길이 $3$짜리 cycle과 짝수 개의 호환으로 이루어진 $\pi \in N$이 존재하는 경우를 생각해보자. 그러면 $\pi\pi$가 $3$-cycle이 됨이 자명하므로 Corollary 4.1에 의해 $N = A_n$임을 알 수 있다.

 

Case 4.

Suppose that there is a $\pi \in N$ of the form $\pi = \left( a ~ b \right) \left( c ~ d \right)$. Conjugating by $\left( a ~ e ~ b \right)$ with $e$ distinct from $a$, $b$, $c$, and $d$ yeilds $\pi' = \left( a ~ e ~ b \right) \pi \left( b ~ e ~ a \right) = \left( a ~ e \right) \left( c ~ d \right)$. Then $\pi\pi' = \left( a ~ e ~ b \right)$. By Corollary 4.1, $N = A_n$.

이번엔 두 호환의 곱인 $\pi \in N$가 존재한다고 가정하자. 그러면 $\pi = \left( a ~ b \right) \left( c ~ d \right)$와 같이 표현할 수 있다. 그러면 $n \geq 5$이므로 $a,b,c,d$와 다른 정수 $e \in J_n$가 존재할 것이며, 따라서 $\left( a ~ e ~ b \right) \in A_n$에 대한 켤레연산을 취할 수 있다. 따라서 $\pi' = \left( a ~ e ~ b \right) \pi \left( b ~ e ~ a \right) = \left( a ~ e \right) \left( c ~ d \right)$가 $N$의 원소이며, 따라서 $\pi\pi' = \left( a ~ e ~ b \right)$ 역시 $N$의 원소임을 알 수 있다. 따라서 Corollary 4.1에 의해 $N = A_n$임을 알 수 있다.

 

Case 5.

Suppose that $N$ contains a permutation of the form $\pi = \left( a_1 ~ b_1 \right) \left( a_2 ~ b_2 \right) \left( a_3 ~ b_3 \right) \left( a_4 ~ b_4 \right) \cdots$. This time we conjugate by $\left( a_2 ~ b_1 \right) \left( a_3 ~ b_2 \right)$. $\pi' = \left( a_2 ~ b_1 \right) \left( a_3 ~ b_2 \right) \pi \left( a_3 ~ b_2 \right) \left( a_2 ~ b_1 \right) = \left( a_1 ~ a_2 \right) \left( b_1 ~ a_3 \right) \left( b_2 ~ b_3 \right) \left( a_4 ~ b_4 \right) \cdots$. Then $\pi\pi' = \left( a_1 ~ b_2 ~ a_3 \right) \left( a_2 ~ b_1 ~ b_3 \right)$. This reduces the proof to Case 2.

이제 위에서 고려하지 않은 경우인 $\pi \in N$가 $4$ 이상의 짝수 개의 서로소인 호환의 곱으로 이루어진 경우를 가정하자. 그러면 $\pi = \left( a_1 ~ b_1 \right) \left( a_2 ~ b_2 \right) \left( a_3 ~ b_3 \right) \left( a_4 ~ b_4 \right) \cdots$와 같이 표현할 수 있다. 여기에 $\left( a_2 ~ b_1 \right) \left( a_3 ~ b_2 \right) \in A_n$에 대한 켤레연산을 취하면 $\pi' = \left( a_2 ~ b_1 \right) \left( a_3 ~ b_2 \right) \pi \left( a_3 ~ b_2 \right) \left( a_2 ~ b_1 \right) = \left( a_1 ~ a_2 \right) \left( b_1 ~ a_3 \right) \left( b_2 ~ b_3 \right) \left( a_4 ~ b_4 \right) \cdots$를 얻을 수 있으며, 따라서 $\pi\pi' = \left( a_1 ~ b_2 ~ a_3 \right) \left( a_2 ~ b_1 ~ b_3 \right) \in N$임을 알 수 있고, 따라서 Case 2의 상황으로 환원된다.

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