추상대수학, 그 스물다섯 번째 이야기 | 여러 가지 Solvable Group ( Various Examples of Solvable Groups )

이번 글에서는 Solvable Group의 여러 예시들을 소개하려 한다. 또한, 이후에 포스팅하게 될 여러 글들에서 소개하는 개념을 이용하여 solvable하다는 것을 보일 수 있는 예시들이 추가될 때마다 이 글에 해당 내용을 추가할 예정이다.

This post will introduce you various examples of solvable groups. Also, the contents of this post will be added whenever the examples are added by posts that will be posted later.

 

Table of Contents

• Example 1. Abelian Groups
• Example 2. Finite $p$-Groups
• Example 3. The Groups Whose Order is A Product of Two Prime Numbers

 

Example 1.

solvable group의 가장 기본적인 예시는 아벨군이다. 아벨군은 모든 부분군이 정규부분군이므로 자명부분군 $\mathbf{1}$ 역시 정규부분군으로 가진다. 따라서 아벨군은 solvable하다.

The basic example of solvable groups are abelian groups. They are trivially solvable since a normal series being given by just the group itself and the trivial group.

 

Example 2.

모든 유한 $p$-군은 solvable하다. 아래의 정리를 보라.

Every finite $p$-group is solvable. Look at the theorem below.

 

Theorem 2.

Let $G$ be a finite $p$-group. Then $G$ is solvable. If its order is greater than $1$, then $G$ has a non-trivial center. $G$가 유한 $p$-군이라고 하자. 그러면 $G$는 solvable하다. 만약 $G$의 위수가 $1$보다 크다면, $G$는 비자명 Center를 가진다.

 

Proof.

The first assertion follows from the second, since if $G$ has center $Z$, and we have an abelian tower for $G/Z$ by induction, we can lift this abelian tower to $G$ to show that $G$ is solvable. To prove the second assertion, we use the class equation $$ \left( G : \mathbf{1} \right) = \left( Z : \mathbf{1} \right) + \sum \left( G : G_x \right), $$ the sum being taken over certain $x$ for which $\left( G : G_x \right) \neq 1$. Then $p$ divides $\left( G : \mathbf{1} \right)$ and also divides every term in the sum, so that $p$ divides the order of the center, as was to be shown.

만약 $G$가 비자명 center $Z$를 가진다면 귀납법에 의해 $G/Z$의 abelian tower를 얻을 수 있고, 이를 이용하여 $G$의 abelian tower를 구성할 수 있으므로 $G$가 solvable하다는 것이 보여진다. 따라서 $G$가 비자명 center $Z$를 가진다는 것만 보여도 충분하다. 이를 보이기 위해 우리는 class equation $$ \left( G : \mathbf{1} \right) = \left( Z : \mathbf{1} \right) + \sum \left( G : G_x \right) $$를 사용할 것이다. 이때, 우변의 시그마는 $\left( G : G_x \right) \neq 1$인 $x$에 대하여 $\left( G : G_x \right)$의 합을 취한 것이다. 그러면 $p$가 $\left( G : \mathbf{1} \right)$를 나누고 시그마의 각 항을 나누므로 $\left( Z : \mathbf{1} \right)$ 역시 $p$로 나누어 떨어짐을 알 수 있으며, 따라서 $G$는 비자명 center $Z$를 가진다.

$\blacksquare$

 

Corollary 2.1.

Let $G$ be a finite $p$-group which is not of order $1$. Then there exists a sequence of subgroups $$ \mathbf{1} = G_0 \subseteq G_1 \subseteq \cdots \subseteq G_n = G $$ such that $G_i$ is normal in $G$ and $G_{i+1} / G_i$ is cyclic of order $p$. $G$를 위수가 $1$이 아닌 유한 $p$-군이라고 하자. 그러면 각 $G_i$가 $G$의 정규부분군이고 각 $G_{i+1} / G_i$가 위수가 $p$인 순환군이도록 하는 부분군열 $$ \mathbf{1} = G_0 \subseteq G_1 \subseteq \cdots \subseteq G_n = G $$가 존재한다.

 

Proof.

Since $G$ has a non-trivial center, there exists an element $a \neq e$ in the center of $G$, and such that $a$ has order $p$. Let $H$ be the cyclic group generated by $a$. By induction, if $G \neq H$, we can find a sequence of subgroups as stated above in the factor group $G/H$. Taking the inverse image of this tower in $G$ gives us the desired sequence in $G$.

$G$가 비자명 center를 가지므로 $G$의 center는 위수가 $p$인 항등원이 아닌 원소 $a$를 가진다. $H$를 $a$로부터 생성된 순환군이라고 하자. 만약 $G = H$라면 따름정리가 성립함은 자명하며, $G \neq H$라면, $G/H$ 역시 유한 $p$-군이므로 귀납법을 적용할 수 있다. $G/H$가 조건을 만족하는 부분군열을 가진다고 하면 이로부터 자연스럽게 $G$의 부분군열 역시 구성 가능하다. 따라서 귀납법에 의해 따름정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

Example 3.

위수가 두 소수의 곱인 군은 solvable하다. 아래를 보자.

Every group whose order is the product of two primes is solvable. Look at below.

 

Lemma 3.

Let $G$ be a finite group and let $p$ be the smallest prime dividing the order of $G$. Let $H$ be a subgroup of index $p$. Then $H$ is normal. 유한군 $G$가 주어졌다고 하고 $p$가 $G$의 위수의 가장 작은 소인수라고 하자. 그러면 $\left( G : H \right) = p$인 $G$의 부분군 $H$는 언제나 $G$의 정규부분군이다.

 

Proof.

Let $N_G(H) = N$ be the normalizer of $H$. Then $N = G$ or $N = H$. If $N = G$, we are done. Suppose $N = H$. Then the orbit of $H$ under conjugation has $p = \left( G : H \right)$ elements, and the representation of $G$ on this orbit gives a homomorphism of $G$ into the symmetric group on $p$ elements, whose order is $p!$ since each element of $G$ one-to-one corresponds the orbit of $H$ to itself. Let $K$ be the kernel of that homomorphism. Then $K$ is the intersection of stabilizer subgroups, and the stabilizer subgroup of $H$ is $H$ by assumption, so $K \subseteq H$. If $K \neq H$, then from $$ \left( G : K \right) = \left( G : H \right) \left( H : K \right) = p \left( H : K \right), $$ and the fact that only the first power of $p$ divides $p!$, we conclude that some prime dividing $(p-1)!$ also divides $\left( H : K \right)$, which contradicts the assumption that $p$ is the smallest prime dividing the order of $G$. Thus $K = H$ and this means that $H$ is a subgroup of the stabilizer subgroup of every conjugation of $H$. So $hgHg^{-1}h^{-1} = gHg^{-1}$ for every $g \in G,\;h \in H$ and this implies that $g^{-1}hg \in H$ for every $g \in G,\;h \in H$ by the fact that the normalizer of $H$ is the largest subgroup of $G$ in which $H$ is normal. And this means that $g^{-1}Hg \subseteq H$ for every $g \in G$ and this contradicts the assumption that $N= H$ i.e., $H$ is not normal in $G$. Therefore, we can get $N = G$ and the proof is complete.

$N_G(H) = N$을 $H$의 normalizer라고 하자. 그러면 $N = G$이거나 $N = H$이다. 만약 $N = G$라면 보조정리가 성립함은 자명하다. 따라서 $N = H$라고 가정하자. 그러면 켤레연산 아래에서 $H$의 궤도는 $p = \left( G : H \right)$개의 원소를 가지며, $G$의 각 원소는 켤레로서 작용하면서 $H$의 궤도에서 $H$의 궤도로 가는 일대일 대응을 만들어내므로 켤레연산은 $G$로부터 $S_p$로 가는 homomorphism을 구성해낸다. $K$를 이 homomorphism의 kernel이라고 하면 $K$는 모든 안정자군의 교집합임을 알 수 있다. 이때, 가정에 의해 $H$의 안정자군이 $H$이므로 $K \subseteq H$임을 알 수 있다. 만약 $K \neq H$라면, $$ \left( G : K \right) = \left( G : H \right) \left( H : K \right) = p \left( H : K \right) $$라는 사실과 $p!$을 나누는 $p$의 가장 큰 거듭제곱이 $p$라는 사실로부터 $(p-1)!$의 어떤 소인수가 $\left( H : K \right)$ 역시 나눈다는 것을 알 수 있으며, 이는 $p$가 $G$의 위수의 가장 작은 소인수라는 가정에 모순된다. 따라서 $K = H$라는 것을 알 수 있으며, 이는 곧 $H$가 $H$의 모든 켤레의 안정자군의 부분군이라는 것을 의미한다. 따라서 임의의 $g \in G,\;h \in H$에 대하여 $hgHg^{-1}h^{-1} = gHg^{-1}$이 성립하며, 이 정리에 의해 임의의 $g \in G,\;h \in H$에 대하여 $g^{-1}hg \in H$임을 알 수 있다. 이는 곧 임의의 $g \in G$에 대하여 $g^{-1}Hg \subseteq H$가 성립함을 의미하며, 이는 $N = H$ 즉, $H$가 $G$의 정규부분군이 아니라는 가정에 모순된다. 따라서 $N = G$임을 얻으며, 보조정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

Theorem 3.

Let $p$ and $q$ are primes and let $G$ be a group of order $pq$. Then $G$ is solvable. $p,\;q$를 소수라 하고 $G$를 위수가 $pq$인 군이라고 하자. 그러면 $G$는 solvable하다.

 

Proof.

If $p = q$, then it is obvious that $G$ is solvable by the Theorem 2. Suppose $p < q$. Let $Q$ be a Sylow subgroup of order $q$. Then $Q$ has index $p$, so by the lemma, $Q$ is normal and the factor group has order $p$. But a group of prime order is cyclic, whence the theorem follows.

$p = q$인 경우, $G$가 $p$-군이므로 Theorem 2에 의해 $G$가 solvable함이 자명하다. 이제 $p < q$라고 가정하자. $Q$를 위수 $q$인 쉴로브 부분군이라고 하자. 그러면 $\left( G : Q \right) = p$이므로 보조정리에 의해 $Q$가 $G$의 정규부분군이며, $G/Q$의 위수가 $p$임을 알 수 있다. 위수가 소수인 군은 언제나 순환군이라는 사실로부터, 정리가 증명된다.

$\blacksquare$