추상대수학, 그 스물일곱 번째 이야기 | 가환 모노이드의 Grothendieck Group ( The Grothendieck Group of A Commutative Monoid )

이번 글에서는 가환 모노이드의 Grothendieck group을 소개하려 한다. 가환 모노이드의 Grothendieck group은 해당 가환 모노이드를 포함하는 가장 최적의 아벨군이다. 쉽게 말해서, 어떤 가환 모노이드가 주어질 때, 해당 모노이드에 역원 연산을 부여하여 얻어낸 아벨군을 해당 모노이드의 Grothendieck group이라고 한다. 실제로는 보다 엄밀한 방식으로 정의되며, 앞의 설명은 보다 직관적인 이해를 위한 설명이다. 그럼 아래의 정의를 보자.

In this post, we will get to know what the Grothendieck group of a commutative monoid is. The Grothendieck group of a commutative monoid is the most general abelian group which contains the monoid. In other words, the Grothendieck group of the given commutative monoid is an abelian group obtained by introducing additive inverses. In fact, it is defined in a more rigorous way, and the preceding description is for a more intuitive understanding. Look at the below.

 

Definition 1. 가환 모노이드의 Grothendieck Group ( The Grothendieck Group of A Commutative Monoid )

Let $M$ be a commutative monoid. Its Grothendieck group $K(M)$ is an abelian group with the following universal property: There exists a monoid homomorphism $$ \iota : M \to K(M) $$ such that for any monoid homomorphism $$ f : M \to A $$ from the commutative monoid $M$ to an abelian group $A$, there is a unique group homomorphism $$ g : K(M) \to A $$ such that $$ f = g \circ \iota. $$ This expresses the fact that any abelian group $A$ that contains a homomorphic image of $M$ will also contain a homomorphic image of $K(M)$, $K(M)$ being the "most general" abelian group containing a homomorphic image of $M$.  In addition, the map $\iota$ in the definition above is called a canonical map from $M$ to its Grothendieck group. 가환 모노이드 $M$이 주어졌다고 하자. 이때, $M$의 Grothendieck Group $K(M)$은 다음 보편 성질을 만족하는 아벨군으로 정의된다. 가환 모노이드 $M$에서 아벨군 $A$로 가는 monoid homomorphism $ f : M \to A $가 주어질 때, 각 $f$에 대하여 $f = g \circ \iota$를 만족하는 group homomorphism $g : K(M) \to A$가 유일하게 존재하도록 하는 monoid homomorphism $\iota : M \to K(M)$가 존재한다. 이는 $M$의 homomorphic image를 포함하는 임의의 아벨군 $A$가 언제나 $K(M)$의 homomorphic image를 포함한다는 사실을 의미하며, 이는 곧 $K(M)$이 $M$을 포함하는 최적의 아벨군임을 의미한다. 또한, 위의 정의에서 $\iota$를 $M$에서 $K(M)$으로 가는 canonical map이라고 한다.

 

Now that we've defined the Grothendieck group of a commutative monoid, let's figure out whether the Grothendieck group always exists. Look at the below.

이제 가환 모노이드의 Grothendieck group을 정의했으므로 Grothendieck group이 항상 존재하는지에 대해 알아보자. 아래의 정리를 보자.

 

Theorem 1.

For any commutative monoids $M$, there exists a Grothendieck group $K(M)$ of $M$. 임의의 가환 모노이드 $M$에 대하여, $M$의 Grothendieck group $K(M)$이 항상 존재한다.

 

Proof.

Let $F_{\operatorname{ab}}(M)$ be the free abelian group generated by $M$. We denote the generator of $F_{\operatorname{ab}}(M)$ corresponding to an element $x \in M$ by $\left[ x \right]$. Let $B$ be the subgroup generated by all elements of type $$ \left[ x+y \right] - \left[ x \right] - \left[ y \right] $$ where $x,y \in M$. We let $K(M) = F_{\operatorname{ab}}(M)/B$, and let $$ \iota : M \to K(M) $$ be the map obtained by composing the injection $\gamma$ of $M$ into $F_{\operatorname{ab}}(M)$ given by $\gamma : x \mapsto \left[ x \right]$, and the canonical map $$ \pi : F_{\operatorname{ab}}(M) \to F_{\operatorname{ab}}(M)/B. $$ It is then clear that $$ \iota(x)+\iota(y) = \pi(\left[ x \right])+\pi(\left[ y \right]) = \pi(\left[ x \right] + \left[ y \right]) = \pi(\left[ x+y \right]) = \iota(x+y) $$ since $\left[ x+y \right] - \left[ x \right] - \left[ y \right] \in B$. Hence $\iota$ is a homomorphism.

By the universal property of free abelian group, $\iota$ obviously satisfies the desired universal property and the theroem is proved.

$M$으로부터 생성된 자유 아벨군을 $F_{\operatorname{ab}}(M)$으로 표기하고 각 $x \in M$에 대응되는 $F_{\operatorname{ab}}(M)$의 자유 생성자를 $\left[ x \right]$로 표기하도록 하자. 이제 $B$를 $\left[ x+y \right] - \left[ x \right] - \left[ y \right]$ 꼴의 원소들로부터 생성된 $F_{\operatorname{ab}}$의 부분군이라고 하자. 이제 $K(M) = F_{\operatorname{ab}}(M)/B$라고 하고 $\iota : M \to K(M)$를 $\gamma : \begin{cases} M \to F_{\operatorname{ab}}(M) \\ x \mapsto \left[ x \right] \end{cases}$와 canonical map $\pi : F_{\operatorname{ab}}(M) \to F_{\operatorname{ab}}(M)/B$의 합성으로 정의되는 사상이라고 하자. 그러면 $\left[ x+y \right] - \left[ x \right] - \left[ y \right] \in B$라는 사실로부터 $$ \iota(x) + \iota(y) = \pi(\left[ x \right]) + \pi(\left[ y \right]) = \pi(\left[ x \right] + \left[ y \right]) = \pi(\left[ x+y \right]) = \iota(x+y) $$임을 알 수 있고, 따라서 $\iota$가 homomorphism임을 알 수 있다.

자유 아벨군의 보편 성질에 의해, $\iota$가 목표했던 보편 성질을 만족한다는 사실을 알 수 있으며, 따라서 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

위의 정리를 통해 우리는 Grothendieck group을 구성하는 한 가지 방법을 알 수 있다. 위와 같은 방법 외에도 Grothendieck group을 구성하는 방법이 한 가지 더 있다. 아래를 보자.

By the above, we can know one way to construct a Grothendieck group of the given commutative monoid. In addition to the above method, there is one more way to construct a Grothendieck group of the given commutative monoid. Look at the below.

 

Theorem 2.

Let $M$ be a commutative monoid and define the addition on $M \times M$ component-wise: $$ \left( m_1, m_2 \right) + \left( m'_1, m'_2 \right) = \left( m_1 + m'_1, m_2 + m'_2 \right) $$ Now we shall define a binary relation $\sim$ on $M \times M$ as $\left( m_1, m_2 \right) \sim \left( m'_1, m'_2 \right)$ if and only if there exists a $c \in M$ such that $m_1 + m'_2 + c = m_2 + m'_1 + c$. Then the relation $\sim$ is an equivalence relation and $\left( M \times M \right) / \sim$ is a Grothendieck group of $M$. 가환 모노이드 $M$이 주어졌다고 하고, $M \times M$ 위의 덧셈을 성분별 덧셈으로 정의하자. 즉, $M \times M$ 위의 덧셈을 아래와 같이 정의하자. $$ \left( m_1, m_2 \right) + \left( m'_1, m'_2 \right) = \left( m_1 + m'_1, m_2 + m'_2 \right) $$ 이제 $m_1 + m'_2 + c = m_2 + m'_1 + c$이도록 하는 $c \in M$가 존재하는 경우를 $\left( m_1, m_2 \right) \sim \left( m'_1, m'_2 \right)$로 정의하자. 그러면 $M \times M$ 위의 이항 관계 $\sim$은 동치관계이며, $\left( M \times M \right) / \sim$은 $M$의 Grothendieck group이다.

 

Proof.

First, we shall prove that $\sim$ is an equivalence relation on $M \times M$. It is clear that $\sim$ is reflective and symmetric. Now let $(a_1, b_1) \sim (a_2, b_2)$ and $(a_2, b_2) \sim (a_3, b_3)$. Then there exist two elements $c_{12}, c_{23} \in M$ such that $a_1+b_2+c_{12} = a_2+b_1+c_{12}$ and $a_2+b_3+c_{23} = a_3+b_2+c_{23}$. Then it is clear that $a_1+b_3+a_2+b_2+c_{12}+c_{23} = a_3+b_1+a_2+b_2+c_{12}+c_{23}$ and thus makes $(a_1, b_1) \sim (a_3, b_3)$. Therefore $\sim$ is transitive and, hence, $\sim$ is an equivalence relation on $M \times M$.

Now it is left to show that $\left( M \times M \right) / \sim$ is a Grothendieck group of $M$. Since $M \times M$ is a commutative monoid, it is clear that $\left( M \times M \right) / \sim$ satisfies the closure property under the addition and the associativity and commutativity of the addition. Also it is trivial that $\left[ \left( 0,0 \right) \right]_{\sim}$ is an identity element of $\left( M \times M \right) / \sim$. Since $\left( m,m \right) \sim \left( 0,0 \right)$ for any elements $m \in M$, $\left[ \left( m_1, m_2 \right) \right]_{\sim} + \left[ \left( m_2, m_1 \right) \right]_{\sim} = \left[ \left( 0,0 \right) \right]_{\sim}$. So every element of $\left( M \times M \right) / \sim$ has an inverse element and therefore $\left( M \times M \right) / \sim$ is an abelian group.

We shall define a monoid homomorphism $\iota : M \to \left( M \times M \right) / \sim$ as $m \mapsto \left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim}$. Now let an abelian group $A$ and a monoid homomorphism $f : M \to A$ be the given. We shall show that $\left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim} = \left[ \left( 0,m' \right) \right]_{\sim}$ implies that $f(m) = f(m')$. By the definition of the relation $\sim$, there exists an element $c \in M$ such that $m+c = m'+c$. So it is trivial that $f(m) = f(m) + f(c) - f(c) = f(m+c) - f(c) = f(m'+c) - f(c) = f(m') + f(c) - f(c) = f(m')$. Hence, there exists a group homomorphism $g : \left( M \times M \right) / \sim \to A$ such that $f = g \circ \iota$.

Now let a group homomorphism $g' : \left( M \times M \right) / \sim \to A$ also satisfy the condition that $f = g' \circ \iota$. Then for any $m \in M$, $g \left( \left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim} \right) = g' \left( \left[ \left( 0,m' \right) \right]_{\sim} \right)$ and thus makes $g \left( \left[ \left( m,m' \right) \right]_{\sim} \right) = g \left( \left[ \left( 0,m' \right) \right]_{\sim} - \left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim} \right) = g \left( \left[ \left( 0,m' \right) \right]_{\sim} \right) - g \left( \left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim} \right) = g' \left( \left[ \left( 0,m' \right) \right]_{\sim} \right) - g' \left( \left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim} \right) = g' \left( \left[ \left( 0,m' \right) \right]_{\sim} - \left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim} \right) = g' \left( \left[ \left( m,m' \right) \right]_{\sim} \right)$. Hence, $g = g'$ and $\left( M \times M \right) / \sim$ is therefore a Grothendieck group of $M$ and $\iota$ is a canonical map of $M$ into $\left( M \times M \right) / \sim$.

먼저, $\sim$이 $M \times M$ 위의 동치관계임을 보이자. 먼저, $\sim$의 정의로부터 $\sim$이 반사적이고 대칭적이라는 것은 매우 자명하다. 이제 $( a_1, b_1 ) \sim ( a_2, b_2 )$이고 $( a_2, b_2 ) \sim ( a_3, b_3 )$이라고 하자. 그러면 $\sim$의 정의에 의해 $a_1 + b_2 + c_{12} = a_2 + b_1 + c_{12}$와 $a_2 + b_3 + c_{23} = a_3 + b_2 + c_{23}$이 성립하도록 하는 $c_{12}, c_{23} \in M$이 존재한다. 이때, 두 등식의 양변을 서로 더해주면, $a_1 + b_3 + ( a_2 + b_2 + c_{12} + c_{23} ) = a_3 + b_1 + ( a_2 + b_2 + c_{12} + c_{23} )$이 성립하므로 $( a_1 , b_1 ) \sim ( a_3 , b_3 )$임을 알 수 있다. 따라서 $\sim$은 추이관계임을 알 수 있으며, 이로 인해 $\sim$이 동치관계임이 증명된다.

이제 $\left( M \times M \right) / \sim$이 $M$의 Grothendieck group이라는 것을 보이는 것만이 남았다. $M \times M$이 가환 모노이드라는 사실로부터, $\left( M \times M \right) / \sim$이 덧셈에 대해 닫혀 있으며, 덧셈에 대한 교환법칙과 결합법칙을 만족한다는 것을 알 수 있다. 또한, $\left[ \left( 0 , 0 \right) \right]_{\sim}$이 항등원이 된다는 사실이 매우 자명하며, $\left( M \times M \right) / \sim$의 임의의 원소 $\left[ \left( a , b \right) \right]_{\sim}$에 대하여 $\left[ \left( a , b \right) \right]_{\sim} + \left[ \left( b , a \right) \right]_{\sim} = \left[ \left( a , b \right) \right]_{\sim}$임을 쉽게 알 수 있으므로, $\left( M \times M \right) / \sim$이 아벨군임이 보여진다.

이제 monoid homomorphism $\iota : M \to \left( M \times M \right) / \sim$를 $\iota : m \mapsto \left[ \left( 0 , m \right) \right]_{\sim}$으로 정의하고 아벨군 $A$와 monoid homomorphism $f : M \to A$가 주어졌다고 하자. 이제 $\left[ \left( 0 , m \right) \right]_{\sim} = \left[ \left( 0 , m' \right) \right]_{\sim}$이 $f(m) = f(m')$을 함의한다는 것을 보일 것이다. $\sim$의 정의에 의해 $m + c = m' + c$가 성립하도록 하는 $c \in M$가 존재한다. 따라서 다음이 성립한다. $$ f(m) = f(m) + f(c) - f(c) = f(m+c) - f(c) = f(m'+c) - f(c) = f(m') + f(c) - f(c) = f(m') $$ 따라서 $f = g \circ \iota$를 만족하도록 하는 group homomorphism $g : \left( M \times M \right) / \sim \to A$의 존재성은 자명하다.

이제 $f = g \circ \iota = g' \circ \iota$인 두 group homomorphism $g : \left( M \times M \right) / \sim \to A$와 $g' : \left( M \times M \right) / \sim \to A$가 존재한다고 하자. 그러면 임의의 $m \in M$에 대하여 $g \left( \left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim} \right) = g' \left( \left[ \left( 0,m' \right) \right]_{\sim} \right)$가 성립하며, 따라서 $g \left( \left[ \left( m,m' \right) \right]_{\sim} \right) = g \left( \left[ \left( 0,m' \right) \right]_{\sim} - \left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim} \right) = g \left( \left[ \left( 0,m' \right) \right]_{\sim} \right) - g \left( \left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim} \right) = g' \left( \left[ \left( 0,m' \right) \right]_{\sim} \right) - g' \left( \left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim} \right) = g' \left( \left[ \left( 0,m' \right) \right]_{\sim} - \left[ \left( 0,m \right) \right]_{\sim} \right) = g' \left( \left[ \left( m,m' \right) \right]_{\sim} \right)$가 성립한다. 따라서 두 group homomorphism $g$와 $g'$은 같은 함수이며, 이로 인해 $\left( M \times M \right) / \sim$이 $M$의 Grothendieck group이며 $\iota$가 $\left( M \times M \right) / \sim$으로 가는 $M$의 canonical map이 됨을 알 수 있다.

$\blacksquare$

 

Now that we know two different ways to construct a Grothendieck group of the given commutative monoid, you might want to know whether these two Grothendieck groups of the given commutative monoid obtained by the two methods above are isomorphic to each other. To answer to the question, we need a lemma. Look at the below.

가환 모노이드의 Grothendieck group을 구성하는 두 가지 방법을 알게 되었으므로, 이 두 가지 방법을 통해 얻은 두 Grothendieck group이 isomorphic한지가 궁금할 것이다. 이 질문에 대한 답을 하기 위해서 우리는 한 가지 보조정리가 필요하다. 아래를 보자.

 

Lemma 1.

Let $M$ be a commutative monoid, $K(M)$ be a Grothendieck group of $M$, and $\iota$ be a canonical map of $M$ into $K(M)$. Then $K(M) = \{ a-b \;|\; a,b \in \iota(M) \}$.

$M$이 가환 모노이드라 하고, $K(M)$을 $M$의 Grothendieck group, $\iota$를 $K(M)$으로 가는 $M$의 canonical map이라고 하자. 그러면 $K(M) = \{ a-b \;|\; a,b \in \iota(M) \}$이다.

 

Proof.

Let $B = \{ a-b \;|\; a,b \in \iota(M) \}$. Then it is obvious that $B$ is a subgroup of $K(M)$. Since $K(M)$ is an abelian group, $B$ is a normal subgroup of $K(M)$. If $B \neq K(M)$, then $K(M)/B$ is not a trivial group and then there exist more than one group homomorphisms $f : K(M)/B \to K(M)/B$. Since $K(M) \cong (K(M)/B) \times B$, there exist more than one group homomorphism $h : K(M) \to A$ such that $g = h \circ \iota$ where a monoid homomorphism $g : M \to A$ is given and $A$ is an abelian group. This is obviously a contradiction the fact that $K(M)$ is a Grothendieck group of $M$ and $\iota$ is a canonical map of $M$ into $K(M)$. Therefore, $B = K(M)$ and, hence, the theorem is proved.

$B = \{ a-b \;|\; a,b \in \iota(M) \}$라고 하자. 그러면 $B$가 $K(M)$의 부분군임은 자명하다. $K(M)$이 아벨군이므로, $B$는 $K(M)$의 정규부분군임을 알 수 있다. 만약 $B \neq K(M)$이라면, $K(M)/B$가 자명군이 아니게 되므로 $K(M)/B \to K(M)/B$인 group homomorphism이 적어도 두 개 있다. 이때, $K(M) \cong (K(M)/B) \times B$라는 사실로부터 아벨군 $A$와 monoid homomorphism $g : M \to A$가 주어질 때, $g = h \circ \iota$를 만족하도록 하는 group homomorphism $h : K(M) \to A$가 적어도 두 개 있음을 알 수 있으며, 이는 $K(M)$이 $M$의 Grothendieck group이고 $\iota$가 $K(M)$으로 가는 $M$의 canonical map이라는 사실에 모순이다. 따라서 $B = K(M)$이며, 이로 인해 정리가 증명된다.

$\blacksquare$

 

이제 위의 질문에 대해 답을 할 차례이다. 아래를 보자.

Now, it is time to answer the question above. Look at below.

 

Theorem 3.

Let $M$ be a commutative monoid and both $K(M)$ and $K'(M)$ be Grothendieck Groups of $M$. Then $K(M)$ is isomorphic to $K'(M)$.

가환 모노이드 $M$과 그의 Grothendieck group $K(M)$과 $K'(M)$이 주어졌다고 하자. 그러면 $K(M)$과 $K'(M)$은 isomorphic하다.

 

Proof.

Let $K(M)$ and $K'(M)$ be two Grothendieck groups of $M$ and $\gamma$ and $\gamma'$ be canonical map of $M$ into $K(M)$ and $K'(M)$, respectively. Then by definition, there exists a unique homomorphism $\gamma_* : K'(M) \to K(M)$ making the following diagram commutative:

$K(M)$과 $K'(M)$이 $M$의 두 Grothendieck group이라고 하고, $\gamma$와 $\gamma'$을 각각 $K(M)$과 $K'(M)$으로 가는 $M$의 canonical map이라고 하자. 그러면 정의에 의해 다음 다이어그램이 가환이도록 하는 homomorphism $\gamma_* : K'(M) \to K'(M)$이 유일하게 존재한다.

Define $\gamma'_*$ similarly. Then the following diagram is commutative:

$\gamma'_*$ 역시 $\gamma_*$와 비슷하게 정의하자. 그러면 아래의 다이어그램이 가환이다.

Hence, $(\gamma_* \circ \gamma'_*) (x) = x$ for every element $x \in \gamma(M)$ and $(\gamma'_* \circ \gamma_*) (x) = x$ for every element $x \in \gamma'(M)$.

Since $\gamma_*$ and $\gamma'_*$ are group homomorphisms, $\{ a-b \;|\; a,b \in \gamma(M) \} \cong \{ a-b \;|\; a,b \in \gamma'(M) \}$. Therefore, by the Lemma 1, $K(M) \cong K'(M)$.

따라서 임의의 $x \in \gamma(M)$에 대하여 $(\gamma_* \circ \gamma'_*) (x) = x$이고, 임의의 $x \in \gamma'(M)$에 대하여 $(\gamma'_* \circ \gamma_*) (x) = x$임을 알 수 있다.

$\gamma_*$와 $\gamma'_*$가 group homomorphism이므로 $\{ a-b \;|\; a,b \in \gamma(M) \} \cong \{ a-b \;|\; a,b \in \gamma'(M) \}$이다. 따라서, Lemma 1에 의해, $K(M) \cong K'(M)$이다.

$\blacksquare$

 

또한, 위 정리의 증명과정을 보면, 가환 모노이드 $M$의 두 Grothendieck group $K(M)$, $K'(M)$ 각각으로 가는 $M$의 canonical map $\gamma$와 $\gamma'$에 대하여 $\gamma = f \circ \gamma'$가 성립하도록 하는 group homomorphism $f : K'(M) \to K(M)$이 유일하게 존재한다는 사실을 추가적으로 알 수 있다.

이 외에도 위의 정리에 의한 결과로 다음과 같은 따름정리를 얻을 수 있다.

Furthermore, by the procedure of the proof above, we can easily verify that two canonical maps $\gamma$ and $\gamma'$ of a commutative monoid $M$, which are into the Grothendieck groups $K(M)$ and $K'(M)$ of $M$, respectively, there uniquely exists a group homomorphism $f : K'(M) \to K(M)$ such that $\gamma = f \circ \gamma'$.

Additionally, we can get the following corollary as the result of the theorem above.

 

Corollary 3.1.

Let $M$ be a commutative monoid, $K(M)$ be a Grothendieck group of $M$, and $\gamma : M \to K(M)$ be a canonical map of $M$. Then the followings hold: (a) $\gamma$ is injective if and only if $M$ has the cancellation property, (b) and $\gamma$ is bijective if and only if $M$ is already a group.

가환 모노이드 $M$과 그의 Grothendieck group $K(M)$, $M$의 canonical map $\gamma : M \to K(M)$이 주어졌다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. (a) $\gamma$가 단사인 것과 $M$이 소거법칙을 만족하는 것은 동치이다. (b) $\gamma$가 전단사인 것과 $M$이 그 자체로 군이 되는 것은 동치이다.

 

위 따름정리는 비교적 자명하므로 독자들에게 맡긴다.

Since the corollary above is quite obvious, the proof is left to the readers.