추상대수학, 그 열여섯 번째 이야기 | 교환자 ( Commutator )

이번 글에서는 교환자에 대한 이야기를 해보려 한다. 선형대수학을 공부해본 독자라면 아마 행렬 $\mathbf{A}$와 행렬 $\mathbf{B}$에 대해 $\left[ \mathbf{A} , \mathbf{B} \right] = \mathbf{AB} - \mathbf{BA}$를 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$의 교환자라고 부른다는 사실을 알고 있을 것이다. 그러나 군에서는 그 정의가 살짝 다르다. 아래의 정의를 보자.

 

Definition 1.

군 $G$의 두 원소 $x,y \in G$에 대하여 다음과 같이 정의되는 $\left[ x , y \right]$를 $x$와 $y$의 교환자 ( Commutator )라고 부른다. $$ \left[ x , y \right] = xyx^{-1}y^{-1} $$

 

서적에 따라 교환자의 정의로 $\left[ x , y \right] = x^{-1}y^{-1}xy$를 사용하는 서적도 있으나, 본 블로그에서는 위 정의를 사용한다. 이 교환자 표기법을 이용하여 다음과 같은 정의도 해볼 수 있다. 아래를 보자.

 

Definition 2.

군 $G$의 두 부분군 $H$와 $K$에 대하여 $\left[ H , K \right]$를 다음과 같이 정의한다. $$ \left[ H , K \right] = \{ x \in G \;|\; \exists n \in \mathbb{N}, h_1,h_2,\cdots,h_n \in H, k_1,k_2,\cdots,k_n \in K \text{ s.t. } x = \left[ h_1 , k_1 \right] \left[ h_2 , k_2 \right] \cdots \left[ h_n , k_n \right] \} $$ 특히, 군 $G$에 대하여 $\left[ G , G \right]$를 $G$의 교환자 부분군 ( Commutator Subgroup )이라고 부른다.

 

Theorem 1.

군 $G$가 주어졌다고 하자. 그러면 $\left[ G , G \right]$는 $G$의 정규부분군이다.

 

Proof.

$e = \left[ e , e \right]$이므로 $e \in \left[ G , G \right]$이다.

또한, $\left[ G , G \right]$의 정의로부터 $\left[ G , G \right]$가 $G$에서의 연산에 대해 닫혀 있음을 알 수 있다.

$\left[ h , k \right]^{-1} = \left( hkh^{-1}k^{-1} \right)^{-1} = khk^{-1}h^{-1} = \left[ k , h \right]$이므로 $\left[ G , G \right]$의 임의의 원소 $x$에 대하여 $x^{-1}$ 역시 $\left[ G , G \right]$의 원소임을 알 수 있다.

따라서 $\left[ G , G \right]$는 $G$의 부분군이다.

이제 $\left[ G , G \right] \trianglelefteq G$임을 보이자.

임의의 $g,x,y \in G$에 대하여 다음이 성립하므로 $\forall g \in G, \; g \left[ G , G \right] g^{-1} \subseteq \left[ G , G \right]$가 성립한다.

$$ g \left[ x , y \right] g^{-1} = g \left[ x , y \right] g^{-1} \left[ x , y \right]^{-1} \left[ x , y \right] = \left[ g , \left[ x , y \right] \right] \left[ x , y \right] $$

따라서 $\left[ G , G \right]$는 $G$의 정규부분군이다.

$\blacksquare$

 

위의 정리를 통해 교환자 부분군이 부분군이라는 사실을 알 수 있으며, 교환자 부분군의 이름이 왜 그렇게 붙었는지를 이해할 수 있다. 위와 같이 정의된 교환자 부분군을 이용하여 다음과 같이 정의되는 하나의 초한열 ( transfinite sequence )을 정의할 수 있다. 아래를 보자.

 

Definition 3. 유도열 ( Derived Sequence )

군 $G$가 주어져 있을 때, 초한 귀납법에 의해 다음 세 조건을 모두 만족하도록 하는 초한열 $\alpha \mapsto G^{(\alpha)}$이 유일하게 존재하며, 이 초한열을 $G$의 유도열 ( Derived Sequence )이라고 한다. $G^{(0)} = G$ 임의의 서수 $\alpha$에 대하여, $G^{(\alpha+1)} = \left[ G^{(\alpha)} , G^{(\alpha)} \right]$ 임의의 극한 서수 $\alpha$에 대하여, $G^{(\alpha)} = \displaystyle \bigcap_{\beta < \alpha} G^{(\alpha)}$

 

또한, 교환자 부분군을 이용하여 군에 대한 연산 한 가지를 정의할 수 있다. 아래를 보자.

 

Definition 4. 아벨화 ( Abelianization )

군 $G$의 아벨화 ( Abelianization )는 다음의 연산을 말한다. $$ G^{\operatorname{ab}} = G / \left[ G , G \right] $$

 

Theorem 2.

군 $G$의 아벨화 $G^{\operatorname{ab}}$는 아벨군이다.

 

Proof.

서술의 편의를 위해 $\bar{x} = x \left[ G , G \right]$라고 표기하자.

그러면 $\left[ \bar{x} , \bar{y} \right] = \bar{x} \bar{y} \bar{x}^{-1} \bar{y}^{-1} = \overline{x} \; \overline{y} \; \overline{x^{-1}} \; \overline{y^{-1}} = \overline{xyx^{-1}y^{-1}} = \left[ x , y \right] \left[ G , G \right] = \left[ G , G \right] = \bar{e}$가 성립하므로 $\bar{x} \bar{y} = \bar{y} \bar{x}$임을 알 수 있다.

따라서 $G^{\operatorname{ab}}$는 아벨군이다.

$\blacksquare$

 

Theorem 2에 의해 자연수 $n$에 대하여 유도열 $G = G^{(0)} \trianglerighteq G^{(1)} \trianglerighteq \cdots \trianglerighteq G^{(n)}$는 언제나 Abelian Tower가 됨을 알 수 있다. 따라서 다음 정리를 얻을 수 있다.

 

Theorem 3.

군 $G$가 주어졌다고 하자. 그러면 다음 두 명제는 동치이다. $G$는 Solvable하다. $G^{(n)} = \mathbf{1}$이 되도록 하는 자연수 $n \in \mathbb{N}$이 존재한다.

 

이는 매우 자명하므로 그 증명은 굳이 서술하지 않겠다.