추상대수학, 그 열여섯 번째 이야기 | 교환자 ( Commutator )

이번 글에서는 교환자에 대한 이야기를 해보려 한다. 선형대수학을 공부해본 독자라면 아마 행렬 $\mathbf{A}$와 행렬 $\mathbf{B}$에 대해 $[\mathbf{A},\mathbf{B}]=\mathbf{AB}-\mathbf{BA}$를 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$의 교환자라고 부른다는 사실을 알고 있을 것이다. 그러나 군에서는 그 정의가 살짝 다르다. 아래의 정의를 보자.

 

Definition 1.

군 $G$의 두 원소 $x,y\in G$에 대하여 다음과 같이 정의되는 $[x,y]$를 $x$와 $y$의 교환자 ( Commutator )라고 부른다. $$[x,y]=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$$

 

서적에 따라 교환자의 정의로 $[x,y]=x^{-1}{y}^{-1}xy$를 사용하는 서적도 있으나, 본 블로그에서는 위 정의를 사용한다. 이 교환자 표기법을 이용하여 다음과 같은 정의도 해볼 수 있다. 아래를 보자.

 

Definition 2.

군 $G$의 두 부분군 $H$와 $K$에 대하여 $[H,K]$를 다음과 같이 정의한다. $$[H,K]=\{x\in G|\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},h_1,h_2,\cdots ,h_n\in H,k_1,k_2,\cdots ,k_n\in K\text{ s.t. }x=[h_1,k_1][h_2,k_2]\cdots [h_n,k_n]\}$$ 특히, 군 $G$에 대하여 $[G,G]$를 $G$의 교환자 부분군 ( Commutator Subgroup )이라고 부른다.

 

Theorem 1.

군 $G$가 주어졌다고 하자. 그러면 $[G,G]$는 $G$의 정규부분군이다.

 

Proof.

$e=[e,e]$이므로 $e\in [G,G]$이다.

또한, $[G,G]$의 정의로부터 $[G,G]$가 $G$에서의 연산에 대해 닫혀 있음을 알 수 있다.

${[h,k]}^{-1}={\left(hk{h}^{-1}{k}^{-1}\right)}^{-1}=kh{k}^{-1}{h}^{-1}=[k,h]$이므로 $[G,G]$의 임의의 원소 $x$에 대하여 $x^{-1}$ 역시 $[G,G]$의 원소임을 알 수 있다.

따라서 $[G,G]$는 $G$의 부분군이다.

이제 $[G,G]⊴G$임을 보이자.

임의의 $g,x,y\in G$에 대하여 다음이 성립하므로 $\mathrm{\forall }g\in G,g[G,G]g^{-1}\subseteq [G,G]$가 성립한다.

$$g[x,y]g^{-1}=g[x,y]g^{-1}{[x,y]}^{-1}[x,y]=[g,[x,y]][x,y]$$

따라서 $[G,G]$는 $G$의 정규부분군이다.

$◼$

 

위의 정리를 통해 교환자 부분군이 부분군이라는 사실을 알 수 있으며, 교환자 부분군의 이름이 왜 그렇게 붙었는지를 이해할 수 있다. 위와 같이 정의된 교환자 부분군을 이용하여 다음과 같이 정의되는 하나의 초한열 ( transfinite sequence )을 정의할 수 있다. 아래를 보자.

 

Definition 3. 유도열 ( Derived Sequence )

군 $G$가 주어져 있을 때, 초한 귀납법에 의해 다음 세 조건을 모두 만족하도록 하는 초한열 $\alpha \mapsto G^{(\alpha )}$이 유일하게 존재하며, 이 초한열을 $G$의 유도열 ( Derived Sequence )이라고 한다. $G^{(0)}=G$ 임의의 서수 $\alpha$에 대하여, $G^{(\alpha +1)}=[G^{(\alpha )},G^{(\alpha )}]$ 임의의 극한 서수 $\alpha$에 대하여, $G^{(\alpha )}={\displaystyle \bigcap _{\beta <\alpha }{G}^{(\alpha )}}$

 

또한, 교환자 부분군을 이용하여 군에 대한 연산 한 가지를 정의할 수 있다. 아래를 보자.

 

Definition 4. 아벨화 ( Abelianization )

군 $G$의 아벨화 ( Abelianization )는 다음의 연산을 말한다. $$G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$$

 

Theorem 2.

군 $G$의 아벨화 $G^{\mathrm{ab}}$는 아벨군이다.

 

Proof.

서술의 편의를 위해 $\overline{x}=x[G,G]$라고 표기하자.

그러면 $[\overline{x},\overline{y}]=\overline{x}\overline{y}{\overline{x}}^{-1}{\overline{y}}^{-1}=\bar{x}\bar{y}\overline{x^{-1}}\overline{y^{-1}}=\overline{xy{x}^{-1}{y}^{-1}}=[x,y][G,G]=[G,G]=\overline{e}$가 성립하므로 $\overline{x}\overline{y}=\overline{y}\overline{x}$임을 알 수 있다.

따라서 $G^{\mathrm{ab}}$는 아벨군이다.

$◼$

 

Theorem 2에 의해 자연수 $n$에 대하여 유도열 $G=G^{(0)}⊵G^{(1)}⊵\cdots ⊵G^{(n)}$는 언제나 Abelian Tower가 됨을 알 수 있다. 따라서 다음 정리를 얻을 수 있다.

 

Theorem 3.

군 $G$가 주어졌다고 하자. 그러면 다음 두 명제는 동치이다. $G$는 Solvable하다. $G^{(n)}=\mathbf{1}$이 되도록 하는 자연수 $n\in \mathbb{N}$이 존재한다.

 

이는 매우 자명하므로 그 증명은 굳이 서술하지 않겠다.