집합론, 그 스물여덟 번째 이야기 | 집합의 분할 ( Partition of a Set )  By 초코맛 도비

수학/집합론 | Set Theory|2021. 2. 27. 03:52

이번 글에서는 집합의 분할에 대해 이야기하려 한다. 집합의 분할에 대해 이야기하기에 앞서, 서로소 집합 (Disjoint Set)에 대해 이야기하려 한다. 서로소 집합이란, 교집합이 공집합인 집합을 말한다. 다시 말해, 두 집합 A, B가 다음을 만족하면 이 둘은 서로소 집합이다.

AB=

이제 집합의 분할이 무엇인지 알아보도록 하자. 집합 X의 분할은 합집합이 X이고 서로소 집합인 공집합이 아닌 X의 부분집합의 모임이다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

 

집합 X의 분할 P는 다음 조건들을 만족하는 집합족이다.

1. P
2. P=X
3. A,BP,ABAB=

 

이때, 집합 X의 두 분할 P1P2에 대해 다음과 같은 순서관계를 부여할 수 있다.

 

집합 X의 두 분할 P1, P2에 대해 다음이 성립하면 P1P2보다 더 섬세하다 (Finer)고 하며, P1P2와 같이 나타낸다.
AP1,BP2 s.t. AB

 

이때, P1P2인 상황을 P2P1보다  더 엉성하다 (Coarser)고도 하며, P1P2와 같이 나타내기도 한다. 또한, 이러한 경우에 P1P2세분 (Refinement)이라고 한다.

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