집합론, 그 스물여덟 번째 이야기 | 집합의 분할 ( Partition of a Set )

이번 글에서는 집합의 분할에 대해 이야기하려 한다. 집합의 분할에 대해 이야기하기에 앞서, 서로소 집합 (Disjoint Set)에 대해 이야기하려 한다. 서로소 집합이란, 교집합이 공집합인 집합을 말한다. 다시 말해, 두 집합 $A$, $B$가 다음을 만족하면 이 둘은 서로소 집합이다.

$$A \cap B = \varnothing$$

이제 집합의 분할이 무엇인지 알아보도록 하자. 집합 $X$의 분할은 합집합이 $X$이고 서로소 집합인 공집합이 아닌 $X$의 부분집합의 모임이다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

 

집합 $X$의 분할 $P$는 다음 조건들을 만족하는 집합족이다. 1. $\varnothing \notin P$ 2. $\bigcup P = X$ 3. $\forall A,B \in P,\; A \neq B \Rightarrow A \cap B = \varnothing$

 

이때, 집합 $X$의 두 분할 $P_1$과 $P_2$에 대해 다음과 같은 순서관계를 부여할 수 있다.

 

집합 $X$의 두 분할 $P_1$, $P_2$에 대해 다음이 성립하면 $P_1$이 $P_2$보다 더 섬세하다 (Finer)고 하며, $P_1 \preceq P_2$와 같이 나타낸다. $$\forall A \in P_1,\; \exists B \in P_2 \text{ s.t. } A \in B$$

 

이때, $P_1 \preceq P_2$인 상황을 $P_2$가 $P_1$보다  더 엉성하다 (Coarser)고도 하며, $P_1 \succeq P_2$와 같이 나타내기도 한다. 또한, 이러한 경우에 $P_1$을 $P_2$의 세분 (Refinement)이라고 한다.