집합론, 그 스물아홉 번째 이야기 | '서수 집합의 합집합은 해당 집합의 상한이다'의 증명 ( Proof of 'Union of Ordinals is Least Upper Bound' )

이번 글은 제목 그대로의 내용을 담고 있다. 그럼 본론부터 시작하도록 하겠다.

 

Theorem 1.

서수만을 원소로 가지는 임의의 집합 $A$에 대해 다음이 성립한다. $$\bigcup A = \sup A$$

 

Proof.

먼저 $\displaystyle \bigcup A$가 $A$의 상계임을 보이자.

임의의 $a \in A$에 대하여 $a \subseteq \displaystyle \bigcup A$임은 자명하다.

그러면 서수의 순서관계의 정의에 의해 $a \leq \displaystyle \bigcup A$가 성립한다.

따라서 $\displaystyle \bigcup A$는 $A$의 상계이다.

이제 $A$의 임의의 상계 $x$를 생각하자.

그러면 임의의 $z \in \displaystyle \bigcup A$에 대하여 $z \in y$이면서 동시에 $y \in A$인 서수 $y$가 존재한다.

이때, $x$가 $A$의 상계이므로 $y \leq x$이다. 서수의 순서관계는 추이적이므로 $z \in x$임을 알 수 있다.

따라서 $\displaystyle \bigcup A \subseteq x$가 성립한다.

따라서 $\displaystyle \bigcup A$는 $A$의 임의의 상계보다 작거나 같다.

즉, $\displaystyle \bigcup A$는 $A$의 상한이다.

$\blacksquare$