집합론, 그 스물아홉 번째 이야기 | '서수 집합의 합집합은 해당 집합의 상한이다'의 증명 ( Proof of 'Union of Ordinals is Least Upper Bound' )  By 초코맛 도비

수학/집합론 | Set Theory|2021. 6. 14. 10:31

이번 글은 제목 그대로의 내용을 담고 있다. 그럼 본론부터 시작하도록 하겠다.

 

Theorem 1.

서수만을 원소로 가지는 임의의 집합 A에 대해 다음이 성립한다.
A=supA

 

Proof.

먼저 AA의 상계임을 보이자.

임의의 aA에 대하여 aA임은 자명하다.

그러면 서수의 순서관계의 정의에 의해 aA가 성립한다.

따라서 AA의 상계이다.

이제 A의 임의의 상계 x를 생각하자.

그러면 임의의 zA에 대하여 zy이면서 동시에 yA인 서수 y가 존재한다.

이때, xA의 상계이므로 yx이다. 서수의 순서관계는 추이적이므로 zx임을 알 수 있다.

따라서 Ax가 성립한다.

따라서 AA의 임의의 상계보다 작거나 같다.

즉, AA의 상한이다.

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