집합론, 그 스물여섯 번째 이야기 | 무한 기수의 산술 연산 ( Arithmetic Operation of Infinite Cardinals )

이번 글에서는 무한 기수 $\alpha$에 대해 언제나 $\alpha +\alpha =\alpha \cdot \alpha =\alpha$가 성립함을 증명하고, 그 따름정리도 소개하려 한다.

 

Theorem 1. 임의의 무한 기수 $\alpha$에 대해 $\alpha +\alpha =\alpha$가 성립한다.

 

Proof.

$|A|=\alpha$를 만족하는 집합 $A$를 생각하자. 그러면 다음 두 조건을 만족하는 $A$의 공집합이 아닌 극대 부분집합족 $\{A_i{\}}_{i\in I}$가 존재한다.

1) 임의의 $i\in I$에 대해 $|A_i|={\mathrm{\aleph }}_0$이다.

2) $i\ne j$인 임의의 $i,j\in I$에 대해 항상 $A_i\cap A_j=\mathrm{\varnothing }$이다.

이제 집합 $B=A\setminus \bigcup \{A_i{\}}_{i\in I}$를 생각하자. 그러면 $\{A_i{\}}_{i\in I}$의 극대성에 의해 집합 $B$는 유한집합이 된다. 따라서 고정된 $i_0\in I$에 대해 $|B\cup A_{i_0}|={\mathrm{\aleph }}_0$임을 알 수 있다. 따라서 $A_{i_0}$을 $A_{i_0}\cup B$로 바꾸어도 위의 두 조건을 만족하며, 추가로 $A=\bigcup \{A_i{\}}_{i\in I}$를 얻을 수 있다. 이로부터 $|A|=|\mathbb{N}\times I|$라는 사실을 얻을 수 있다. 이제 집합 $C_0=\{2n|n\in \mathbb{N}\}$와 집합 $C_1=\mathbb{N}\setminus C_0$을 고려하자. 그러면 $(C_0\times I)\cup (C_1\times I)=\mathbb{N}\times I$이고 $(C_0\times I)\cap (C_1\times I)=\mathrm{\varnothing }$임을 알 수 있다. 따라서 우리는 다음 사실을 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{ll}\alpha & =|A|=|\mathbb{N}\times I|=|C_0\times I|+|C_1\times I|\\ & ={\mathrm{\aleph }}_0\cdot |I|+{\mathrm{\aleph }}_0\cdot |I|=|\mathbb{N}\times I|+|\mathbb{N}\times I|\\ & =|A|+|A|=\alpha +\alpha \end{array}$$

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Corollary 1. 기수 $\alpha$와 $\beta$ 둘 중 하나라도 무한 기수이면 $\alpha +\beta =\text{max}\{\alpha ,\beta \}$가 성립한다.

 

Proof.

일반성을 잃지 않고 $\text{max}\{\alpha ,\beta \}=\alpha$임을 가정하자. 그러면 Theorem 1에 의해 다음이 성립한다.

$$\alpha =\alpha +0\le \alpha +\beta \le \alpha +\alpha =\alpha$$

따라서 $\alpha +\beta =\alpha$이다.

$◼$

 

Theorem 2. 임의의 무한 기수 $\alpha$에 대해 $\alpha \cdot \alpha =\alpha$가 성립한다.

 

Proof.

$|A|=\alpha$를 만족하는 집합 $A$를 생각하자. 이제 집합 $X=\{(D,f)|D\subseteq A\wedge f:D\to D\times D\text{ is bijective}\}$를 생각하자. 그리고 집합 $X$에 다음과 같은 순서관계 $⪯$를 부여하자.
$$(D,f)⪯(D^{\prime },f^{\prime })\iff D\subseteq D^{\prime }\wedge f=f^{\prime }{|}_D$$
그러면 $|B|={\mathrm{\aleph }}_0$인 부분집합 $B$가 항상 존재하므로 가산 무한 기수의 성질에 의해 $X$는 공집합이 아니다. 이제 $X$의 사슬 $\{(D_i,f_i){\}}_{i\in I}$를 생각하자. 그러면 $({\displaystyle {\cup }_{i\in I}{D}_i,{\displaystyle {\cup }_{i\in I}{f}_i)\in X}}$는 $\{(D_i,f_i){\}}_{i\in I}$의 상계가 된다. 따라서 초른 보조정리(Zorn's lemma)에 의해 $X$의 극대원소 $(D,f)$가 존재한다. 이제 $|D|=|A|$가 성립한다면 증명이 끝난다. 이제 $|D|=|A|$임을 귀류법을 이용하여 증명할 것이다. 우리는 이미 $|D|\le |A|$이 성립한다는 것을 알고 있다. 따라서 $|D|<|A|$임을 가정하자. 이제 집합 $G=A\setminus D$를 생각하자. 그러면 $|G|+|D|=|A|$가 성립하며, Corollary 1에 의해 $|G|=|A|$가 성립한다. 이제 $|E|=|D|$가 성립하는 $E\subseteq G$를 생각하고 집합 $P=(E\times E)\cup (E\times D)\cup (D\times E)$를 생각하자. $E\cup D=\mathrm{\varnothing }$이므로 세 집합 $E\times E$, $E\times D$, $D\times E$는 pairwise disjoint하다. 따라서 다음이 성립한다.
$$\begin{array}{ll}|P|& =|E\times E|+|E\times D|+|D\times E|\\ & =|E|\cdot |E|+|E|\cdot |D|+|D|\cdot |E|\\ & =|D|\cdot |D|+|D|\cdot |D|+|D|\cdot |D|\\ & =|D|+|D|+|D|=|D|=|E|\end{array}$$
따라서 전단사함수 $g:E\to P$가 존재한다. 또한, $E\cup D=P\cup (D\times D)=\mathrm{\varnothing }$으로부터 $h{|}_D=f$, $h{|}_E=g$를 만족하는 전단사함수 $h:D\cup E\to P\cup (D\times D)$를 얻을 수 있다. 또한, $P\cup (D\times D)=(E\cup D)\times (E\cup D)$이므로 $(E\cup D,h)$ 역시 $X$의 원소가 되며, 이는 $(D,f)$가 $X$의 극대원소임에 모순된다. 따라서 $|D|<|A|$이라는 가정이 잘못되었고, 이를 통해 $|D|=|A|$가 성립함을 알 수 있다. 따라서 다음을 얻을 수 있다.
$$\alpha \cdot \alpha =|A|\cdot |A|=|D|\cdot |D|=|D|=|A|=\alpha$$

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Corollary 2. 두 기수 $\alpha$와 $\beta$ 중 적어도 하나가 무한기수이고 둘 모두가 $0$이 아닐 때, $\alpha \beta =\text{max}\{\alpha ,\beta \}$가 성립한다.

 

Proof.

일반성을 잃지 않고 $\text{max}\{\alpha ,\beta \}=\alpha$임을 가정하자. 그러면 Theorem 2에 의해 다음이 성립한다.

$$\alpha =\alpha 1\le \alpha \beta \le \alpha \alpha =\alpha$$

따라서 $\alpha \beta =\alpha$이다.

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