집합론, 그 스물네 번째 이야기 | 알레프 수 ( Aleph Numbers )

이번 글에서는 알레프 수를 소개하도록 하겠다. 알레프 수란, 칸토어가 무한기수를 표기하기 위해 고안한 함수로, 서수를 기수로 대응시킨다. 표기는 히브리어의 문자인 $\aleph$를 이용한다. 서수 $\alpha$에 대해 알레프 수는 다음과 같이 초한 귀납법으로 정의된다.

 

a. $\aleph_0=|\mathbb{N}|$ b. $\aleph_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}^+$ c. $\aleph_{\lambda}=\displaystyle\bigcup_{\alpha<\lambda}{\aleph_{\alpha}}$ (단, $\lambda$는 극한 서수)

 

위와 같이 정의된 알레프 수는 따름 기수의 성질에 의해 모든 서수 $\alpha$에 대해 다음을 만족하는 기수 $\kappa$가 존재하지 않는다는 성질을 가진다.

$$\aleph_{\alpha}<\kappa<\aleph_{\alpha+1}$$

 

위와 같이 정의된 알레프 수를 이용하여 큰 서수를 표기하는 노테이션을 재정의할 수 있다. $0$이 아닌 서수 $\alpha$에 대해 서수 $\omega_{\alpha}$를 $\aleph_{\alpha}$로 정의한다. 이를 통해 $\omega_{\omega}$나 $\omega_{\omega_{\omega}}$와 같이 굉장히 큰 서수도 쉽게 표현할 수 있다.