집합론, 그 스물세 번째 이야기 | 기수의 산술 연산의 성질

이번 글에서는 저번 글에서 소개한 기수의 산술 연산의 성질을 소개하고 그들을 증명할 것이다.

임의의 세 기수 $\kappa$, $\lambda$, $\mu$에 대해 다음 16가지 대수적 성질이 항상 성립한다.

 

1. 덧셈의 교환법칙: $$\kappa+\lambda=\lambda+\kappa$$ 2. 덧셈의 결합법칙: $$\kappa+(\lambda+\mu)=(\kappa+\lambda)+\mu$$ 3. 곱셈의 교환법칙: $$\kappa\lambda=\lambda\kappa$$ 4. 곱셈의 결합법칙: $$\kappa(\lambda\mu)=(\kappa\lambda)\mu$$ 5. 덧셈의 항등원: $$\kappa+0=\kappa$$ 6. 곱셈의 항등원: $$\kappa1=\kappa$$ 7. 0과의 곱: $$\kappa0=0$$ 8. 0의 거듭제곱: $$0^{\kappa}=\begin{cases}1&\mbox{if }\kappa=0\\0&\mbox{otherwise}\end{cases}$$ 9. 1의 거듭제곱: $$1^{\kappa}=1$$ 10. 칸토어 정리: $$2^{\kappa}>\kappa$$ 11. 지수가 0인 경우: $$\kappa^0=1$$ 12. 지수가 1인 경우: $$\kappa^1=\kappa$$ 13. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙: $$\kappa(\lambda+\mu)=\kappa\lambda+\kappa\mu$$ 14. 지수법칙1: $$\kappa^{\lambda+\mu}=\kappa^{\lambda}\kappa^{\mu}$$ 15. 지수법칙2: $$\kappa^{\lambda\mu}=(\kappa^{\lambda})^{\mu}$$ 16. 거듭제곱의 곱셈에 대한 분배법칙: $$(\kappa\lambda)^{\mu}=\kappa^{\mu}\lambda^{\mu}$$

 

Part 1. 덧셈의 교환법칙 :

함수 $f:\kappa\sqcup\lambda\to\lambda\sqcup\kappa$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,y)=\begin{cases}(x,1)&\mbox{if }y=0\\(x,0)&\mbox{if }y=1\end{cases}$$

또한, 함수 $g:\lambda\sqcup\kappa\to\kappa\sqcup\lambda$를 다음과 같이 정의하자.

$$g(x,y)=\begin{cases}(x,1)&\mbox{if }y=0\\(x,0)&\mbox{if }y=1\end{cases}$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)(x,y)=\begin{cases}f(x,1)&\mbox{if }y=0\\f(x,0)&\mbox{if }y=1\end{cases}=\begin{cases}(x,0)&\mbox{if }y=0\\(x,1)&\mbox{if }y=1\end{cases}=(x,y)$$

$$(g\circ f)(x,y)=\begin{cases}g(x,1)&\mbox{if }y=0\\g(x,0)&\mbox{if }y=1\end{cases}=\begin{cases}(x,0)&\mbox{if }y=0\\(x,1)&\mbox{if }y=1\end{cases}=(x,y)$$

위의 두 가지 사실로부터 $f$와 $g$가 서로 역함수 관계임을 알 수 있다. 함수의 역함수의 존재성은 그 함수가 전단사함수임과 동치이므로 함수 $f$는 전단사함수이다. 따라서 $\kappa+\lambda=|\kappa\sqcup\lambda|=|\lambda\sqcup\kappa|=\lambda+\kappa$이다.
$\blacksquare$

 

Part 2. 덧셈의 결합법칙 :

함수 $f:\kappa\sqcup(\lambda\sqcup\mu)\to(\kappa\sqcup\lambda)\sqcup\mu$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(X)=\begin{cases}((x,0),0)&\mbox{if }X=(x,0)\\((x,1),0)&\mbox{if }X=((x,0),1)\\(x,1)&\mbox{if }X=((x,1),1)\end{cases}$$

또한, $g:(\kappa\sqcup\lambda)\sqcup\mu\to\kappa\sqcup(\lambda\sqcup\mu)$를 다음과 같이 정의하자.

$$g(X)=\begin{cases}(x,0)&\mbox{if }X=((x,0),0)\\((x,0),1)&\mbox{if }X=((x,1),0)\\((x,1),1)&\mbox{if }X=(x,1)\end{cases}$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)(X)=\begin{cases}f(x,0)&\mbox{if }X=((x,0),0)\\f((x,0),1)&\mbox{if }X=((x,1),0)\\f((x,1),1)&\mbox{if }X=(x,1)\end{cases}=\begin{cases}((x,0),0)&\mbox{if }X=((x,0),0)\\((x,1),0)&\mbox{if }X=((x,1),0)\\(x,1)&\mbox{if }X=(x,1)\end{cases}=X$$

같은 방법으로 $(g\circ f)(X)=X$임을 알 수 있다.

따라서 $f$와 $g$는 서로 역함수 관계이며, $f$는 전단사함수이다.

$$\therefore\kappa+(\lambda+\mu)=|\kappa\sqcup(\lambda\sqcup\mu)|=|(\kappa\sqcup\lambda)\sqcup\mu|=(\kappa+\lambda)+\mu$$

$\blacksquare$

 

Part 3. 곱셈의 교환법칙 :

함수 $f:\kappa\times\lambda\to\lambda\times\kappa$와 함수 $g:\lambda\times\kappa\to\kappa\times\lambda$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,y)=(y,x)$$

$$g(x,y)=(y,x)$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)(x,y)=f(y,x)=(x,y)$$

$$(g\circ f)(x,y)=g(y,x)=(x,y)$$

따라서 $f$와 $g$는 서로 역함수 관계이며, $f$는 전단사함수이다. 따라서 $\kappa\lambda=|\kappa\times\lambda|=|\lambda\times\kappa|=\lambda\kappa$가 성립한다.

$\blacksquare$

 

Part 4. 곱셈의 결합법칙 :

함수 $f:\kappa\times(\lambda\times\mu)\to(\kappa\times\lambda)\times\mu$와 함수 $g:(\kappa\times\lambda)\times\mu\to\kappa\times(\lambda\times\mu)$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,(y,z))=((x,y),z)$$

$$g((x,y),z)=(x,(y,z))$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)((x,y),z)=f(x,(y,z))=((x,y),z)$$

$$(g\circ f)(x,(y,z))=g((x,y),z)=(x,(y,z))$$

따라서 $f$는 전단사함수이다. 따라서 $\kappa(\lambda\mu)=|\kappa\times(\lambda\times\mu)|=|(\kappa\times\lambda)\times\mu|=(\kappa\lambda)\mu$가 성립한다.

$\blacksquare$

 

Part 5. 덧셈의 항등원 :

함수 $f:\kappa\sqcup\varnothing\to\kappa$와 함수 $g:\kappa\to\kappa\sqcup\varnothing$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,0)=x$$

$$g(x)=(x,0)$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)(x)=f(x,0)=x$$

$$(g\circ f)(x,0)=g(x)=(x,0)$$

따라서 $f$는 전단사함수이다. 따라서 $\kappa+0=|\kappa\sqcup\varnothing|=|\kappa|=\kappa$가 성립한다.

$\blacksquare$

 

Part 6. 곱셈의 항등원 :

함수 $f:\kappa\times\{\varnothing\}\to\kappa$와 함수 $g:\kappa\to\kappa\times\{\varnothing\}$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x)=(x,\varnothing)$$

$$g(x,\varnothing)=x$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)(x,\varnothing)=f(x)=(x,\varnothing)$$

$$(g\circ f)(x)=g(x,\varnothing)=x$$

따라서 $f$는 전단사함수이다. 따라서 $\kappa1=|\kappa\times\{\varnothing\}|=|\kappa|=\kappa$가 성립한다.

$\blacksquare$

 

Part 7. 0과의 곱 :

집합 $A=\kappa\times\varnothing$을 생각하자. 그러면 집합 $A$는 자명하게 공집합이다. 따라서 $\kappa0=|\kappa\times\varnothing|=|\varnothing|=0$이 성립한다.

$\blacksquare$

 

Part 8. 0의 거듭제곱 :

$\kappa=0$인 경우, $0^{\kappa}$는 $\varnothing\to\varnothing$인 함수의 개수이므로 $1$이다.

$\kappa\neq0$인 경우, $0^{\kappa}$는 $\kappa\to\varnothing$인 함수의 개수이므로 $0$이다.

따라서 $0^{\kappa}=\begin{cases}1&\mbox{if }\kappa=0\\0&\mbox{otherwise}\end{cases}$이 성립한다.

$\blacksquare$

 

Part 9. 1의 거듭제곱 :

$1^{\kappa}$는 $\kappa\to\{\varnothing\}$인 함수의 개수이다. 이때, $\kappa\to\{\varnothing\}$는 $x\mapsto\varnothing$이 유일하므로 $1^{\kappa}=1$이다.

$\blacksquare$

 

Part 10. 칸토어 정리 :

칸토어 정리는 이 글에서 증명하였다.

 

Part 11. 지수가 0인 경우 :

$\kappa^0$은 $\varnothing\to\kappa$인 함수의 개수이다. 이때, $\varnothing\to\kappa$인 함수는 공함수가 유일하므로 $\kappa^0=1$이다.

$\blacksquare$

 

Part 12. 지수가 1인 경우 :

$\kappa^1$은 $\{\varnothing\}\to\kappa$인 함수의 집합의 기수이다. 이때, 함수 $f_x:\{\varnothing\}\to\kappa$를 $f_x:\varnothing\mapsto x$로 정의하면, $\{\varnothing\}\to\kappa$인 함수의 집합과 $\kappa$ 사이에는 자연스러운 전단사함수가 존재함을 알 수 있다. 따라서 $\kappa^1=|\kappa|=\kappa$가 성립한다.

$\blacksquare$

 

Part 13. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 :

함수 $f:\kappa\times(\lambda\sqcup\mu)\to(\kappa\times\lambda)\sqcup(\kappa\times\mu)$와 함수 $g:(\kappa\times\lambda)\sqcup(\kappa\times\mu)\to\kappa\times(\lambda\sqcup\mu)$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,(y,z))=\begin{cases}((x,y),0)&\mbox{if }z=0\\((x,y),1)&\mbox{if }z=1\end{cases}$$

$$g((x,y),z)=\begin{cases}(x,(y,0))&\mbox{if }z=0\\(x,(y,1))&\mbox{if }z=1\end{cases}$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)((x,y),z)=\begin{cases}f(x,(y,0))&\mbox{if }z=0\\f(x,(y,1))&\mbox{if }z=1\end{cases}=\begin{cases}((x,y),0)&\mbox{if }z=0\\((x,y),1)&\mbox{if }z=1\end{cases}=((x,y),z)$$

같은 방법으로 $(g\circ f)(x,(y,z))=(x,(y,z))$임을 알 수 있다. 따라서 $f$는 전단사함수이다. 그러므로 $\kappa(\lambda+\mu)=|\kappa\times(\lambda\sqcup\mu)|=|(\kappa\times\lambda)\sqcup(\kappa\times\mu)|=\kappa\lambda+\kappa\mu$가 성립한다.

$\blacksquare$

 

Part 14. 지수법칙1 :

함수 $f\in\kappa^{\lambda\sqcup\mu}$를 함수 $g(x)=f(x,0)$와 $h(x)=f(x,1)$의 순서쌍 $(g,h)$로 대응시키는 함수를 생각하면 그 함수가 $\kappa^{\lambda\sqcup\mu}$에서 $\kappa^{\lambda}\times\kappa^{\mu}$로 가는 전단사함수가 됨은 쉽게 알 수 있다. 따라서 $\kappa^{\lambda+\mu}=\kappa^{\lambda}\kappa^{\mu}$가 성립한다.

$\blacksquare$

 

Part 15. 지수법칙2 :

함수 $f\in (\kappa^\lambda)^\mu$를 다음을 만족하는 함수 $g\in\kappa^{\lambda\times\mu}$에 대응시키는 함수 $h$를 생각하자.

$$\forall a\in\mu,\forall b\in\lambda\;(f(a))(b) = g(b,a)$$

그러면 함수 $h$는 잘 정의되며 전단사함수가 된다는 사실을 쉽게 알 수 있다. 따라서 $\kappa^{\lambda\mu}=(\kappa^\lambda)^\mu$가 성립한다.

$\blacksquare$

 

Part 16. 거듭제곱의 곱셈에 대한 분배법칙 :

함수 $f\in(\kappa\times\lambda)^{\mu}$를 모든 $x\in\mu$에 대해 $f(x)=(g(x),h(x))$를 만족하는 두 함수 $g:\mu\to\kappa$와 $h:\mu\to\lambda$의 순서쌍 $(g,h)$에 대응시키는 함수를 생각하면 그 함수가 $(\kappa\times\lambda)^{\mu}$에서 $\kappa^{\mu}\times\lambda^{\mu}$로 가는 전단사함수가 됨은 쉽게 알 수 있다. 따라서 $(\kappa\lambda)^{\mu}=\kappa^{\mu}\lambda^{\mu}$가 성립한다.

$\blacksquare$

 

또한, 임의의 세 기수 $\kappa$, $\lambda$, $\mu$에 대해 다음 성질이 항상 성립한다.

 

1. 덧셈의 단조성: $$\kappa\leq\lambda\Rightarrow\kappa+\mu\leq\lambda+\mu$$ 2. 곱셈의 단조성: $$\kappa\leq\lambda\Rightarrow\kappa\mu\leq\lambda\mu$$ 3. 거듭제곱의 단조성1: $$\kappa\leq\lambda\Rightarrow\kappa^{\mu}\leq\lambda^{\mu}$$ 4. 거듭제곱의 단조성2: $$\kappa\leq\lambda\Rightarrow\mu^{\kappa}\leq\mu^{\lambda}$$

 

위 4가지 명제의 증명은 비교적 간단하므로 따로 서술하지는 않겠다.