집합론, 그 스물세 번째 이야기 | 기수의 산술 연산의 성질

이번 글에서는 저번 글에서 소개한 기수의 산술 연산의 성질을 소개하고 그들을 증명할 것이다.

임의의 세 기수 $\kappa$, $\lambda$, $\mu$에 대해 다음 16가지 대수적 성질이 항상 성립한다.

 

1. 덧셈의 교환법칙: $$\kappa +\lambda =\lambda +\kappa$$ 2. 덧셈의 결합법칙: $$\kappa +(\lambda +\mu )=(\kappa +\lambda )+\mu$$ 3. 곱셈의 교환법칙: $$\kappa \lambda =\lambda \kappa$$ 4. 곱셈의 결합법칙: $$\kappa (\lambda \mu )=(\kappa \lambda )\mu$$ 5. 덧셈의 항등원: $$\kappa +0=\kappa$$ 6. 곱셈의 항등원: $$\kappa 1=\kappa$$ 7. 0과의 곱: $$\kappa 0=0$$ 8. 0의 거듭제곱: $$0^{\kappa }=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }\kappa =0\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$ 9. 1의 거듭제곱: $$1^{\kappa }=1$$ 10. 칸토어 정리: $$2^{\kappa }>\kappa$$ 11. 지수가 0인 경우: $${\kappa }^0=1$$ 12. 지수가 1인 경우: $${\kappa }^1=\kappa$$ 13. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙: $$\kappa (\lambda +\mu )=\kappa \lambda +\kappa \mu$$ 14. 지수법칙1: $${\kappa }^{\lambda +\mu }={\kappa }^{\lambda }{\kappa }^{\mu }$$ 15. 지수법칙2: $${\kappa }^{\lambda \mu }=({\kappa }^{\lambda }{)}^{\mu }$$ 16. 거듭제곱의 곱셈에 대한 분배법칙: $$(\kappa \lambda {)}^{\mu }={\kappa }^{\mu }{\lambda }^{\mu }$$

 

Part 1. 덧셈의 교환법칙 :

함수 $f:\kappa \bigsqcup \lambda \to \lambda \bigsqcup \kappa$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x,1)& \text{if }y=0\\ (x,0)& \text{if }y=1\end{array}$$

또한, 함수 $g:\lambda \bigsqcup \kappa \to \kappa \bigsqcup \lambda$를 다음과 같이 정의하자.

$$g(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x,1)& \text{if }y=0\\ (x,0)& \text{if }y=1\end{array}$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)(x,y)=\{\begin{array}{ll}f(x,1)& \text{if }y=0\\ f(x,0)& \text{if }y=1\end{array}=\{\begin{array}{ll}(x,0)& \text{if }y=0\\ (x,1)& \text{if }y=1\end{array}=(x,y)$$

$$(g\circ f)(x,y)=\{\begin{array}{ll}g(x,1)& \text{if }y=0\\ g(x,0)& \text{if }y=1\end{array}=\{\begin{array}{ll}(x,0)& \text{if }y=0\\ (x,1)& \text{if }y=1\end{array}=(x,y)$$

위의 두 가지 사실로부터 $f$와 $g$가 서로 역함수 관계임을 알 수 있다. 함수의 역함수의 존재성은 그 함수가 전단사함수임과 동치이므로 함수 $f$는 전단사함수이다. 따라서 $\kappa +\lambda =|\kappa \bigsqcup \lambda |=|\lambda \bigsqcup \kappa |=\lambda +\kappa$이다.
$◼$

 

Part 2. 덧셈의 결합법칙 :

함수 $f:\kappa \bigsqcup (\lambda \bigsqcup \mu )\to (\kappa \bigsqcup \lambda )\bigsqcup \mu$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(X)=\{\begin{array}{ll}((x,0),0)& \text{if }X=(x,0)\\ ((x,1),0)& \text{if }X=((x,0),1)\\ (x,1)& \text{if }X=((x,1),1)\end{array}$$

또한, $g:(\kappa \bigsqcup \lambda )\bigsqcup \mu \to \kappa \bigsqcup (\lambda \bigsqcup \mu )$를 다음과 같이 정의하자.

$$g(X)=\{\begin{array}{ll}(x,0)& \text{if }X=((x,0),0)\\ ((x,0),1)& \text{if }X=((x,1),0)\\ ((x,1),1)& \text{if }X=(x,1)\end{array}$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)(X)=\{\begin{array}{ll}f(x,0)& \text{if }X=((x,0),0)\\ f((x,0),1)& \text{if }X=((x,1),0)\\ f((x,1),1)& \text{if }X=(x,1)\end{array}=\{\begin{array}{ll}((x,0),0)& \text{if }X=((x,0),0)\\ ((x,1),0)& \text{if }X=((x,1),0)\\ (x,1)& \text{if }X=(x,1)\end{array}=X$$

같은 방법으로 $(g\circ f)(X)=X$임을 알 수 있다.

따라서 $f$와 $g$는 서로 역함수 관계이며, $f$는 전단사함수이다.

$$\therefore \kappa +(\lambda +\mu )=|\kappa \bigsqcup (\lambda \bigsqcup \mu )|=|(\kappa \bigsqcup \lambda )\bigsqcup \mu |=(\kappa +\lambda )+\mu$$

$◼$

 

Part 3. 곱셈의 교환법칙 :

함수 $f:\kappa \times \lambda \to \lambda \times \kappa$와 함수 $g:\lambda \times \kappa \to \kappa \times \lambda$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,y)=(y,x)$$

$$g(x,y)=(y,x)$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)(x,y)=f(y,x)=(x,y)$$

$$(g\circ f)(x,y)=g(y,x)=(x,y)$$

따라서 $f$와 $g$는 서로 역함수 관계이며, $f$는 전단사함수이다. 따라서 $\kappa \lambda =|\kappa \times \lambda |=|\lambda \times \kappa |=\lambda \kappa$가 성립한다.

$◼$

 

Part 4. 곱셈의 결합법칙 :

함수 $f:\kappa \times (\lambda \times \mu )\to (\kappa \times \lambda )\times \mu$와 함수 $g:(\kappa \times \lambda )\times \mu \to \kappa \times (\lambda \times \mu )$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,(y,z))=((x,y),z)$$

$$g((x,y),z)=(x,(y,z))$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)((x,y),z)=f(x,(y,z))=((x,y),z)$$

$$(g\circ f)(x,(y,z))=g((x,y),z)=(x,(y,z))$$

따라서 $f$는 전단사함수이다. 따라서 $\kappa (\lambda \mu )=|\kappa \times (\lambda \times \mu )|=|(\kappa \times \lambda )\times \mu |=(\kappa \lambda )\mu$가 성립한다.

$◼$

 

Part 5. 덧셈의 항등원 :

함수 $f:\kappa \bigsqcup \varnothing \to \kappa$와 함수 $g:\kappa \to \kappa \bigsqcup \varnothing$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,0)=x$$

$$g(x)=(x,0)$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)(x)=f(x,0)=x$$

$$(g\circ f)(x,0)=g(x)=(x,0)$$

따라서 $f$는 전단사함수이다. 따라서 $\kappa +0=|\kappa \bigsqcup \varnothing |=|\kappa |=\kappa$가 성립한다.

$◼$

 

Part 6. 곱셈의 항등원 :

함수 $f:\kappa \times \{\varnothing \}\to \kappa$와 함수 $g:\kappa \to \kappa \times \{\varnothing \}$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x)=(x,\varnothing )$$

$$g(x,\varnothing )=x$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)(x,\varnothing )=f(x)=(x,\varnothing )$$

$$(g\circ f)(x)=g(x,\varnothing )=x$$

따라서 $f$는 전단사함수이다. 따라서 $\kappa 1=|\kappa \times \{\varnothing \}|=|\kappa |=\kappa$가 성립한다.

$◼$

 

Part 7. 0과의 곱 :

집합 $A=\kappa \times \varnothing$을 생각하자. 그러면 집합 $A$는 자명하게 공집합이다. 따라서 $\kappa 0=|\kappa \times \varnothing |=|\varnothing |=0$이 성립한다.

$◼$

 

Part 8. 0의 거듭제곱 :

$\kappa =0$인 경우, $0^{\kappa }$는 $\varnothing \to \varnothing$인 함수의 개수이므로 $1$이다.

$\kappa \ne 0$인 경우, $0^{\kappa }$는 $\kappa \to \varnothing$인 함수의 개수이므로 $0$이다.

따라서 $0^{\kappa }=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }\kappa =0\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$이 성립한다.

$◼$

 

Part 9. 1의 거듭제곱 :

$1^{\kappa }$는 $\kappa \to \{\varnothing \}$인 함수의 개수이다. 이때, $\kappa \to \{\varnothing \}$는 $x\mapsto \varnothing$이 유일하므로 $1^{\kappa }=1$이다.

$◼$

 

Part 10. 칸토어 정리 :

칸토어 정리는 이 글에서 증명하였다.

 

Part 11. 지수가 0인 경우 :

${\kappa }^0$은 $\varnothing \to \kappa$인 함수의 개수이다. 이때, $\varnothing \to \kappa$인 함수는 공함수가 유일하므로 ${\kappa }^0=1$이다.

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Part 12. 지수가 1인 경우 :

${\kappa }^1$은 $\{\varnothing \}\to \kappa$인 함수의 집합의 기수이다. 이때, 함수 $f_x:\{\varnothing \}\to \kappa$를 $f_x:\varnothing \mapsto x$로 정의하면, $\{\varnothing \}\to \kappa$인 함수의 집합과 $\kappa$ 사이에는 자연스러운 전단사함수가 존재함을 알 수 있다. 따라서 ${\kappa }^1=|\kappa |=\kappa$가 성립한다.

$◼$

 

Part 13. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 :

함수 $f:\kappa \times (\lambda \bigsqcup \mu )\to (\kappa \times \lambda )\bigsqcup (\kappa \times \mu )$와 함수 $g:(\kappa \times \lambda )\bigsqcup (\kappa \times \mu )\to \kappa \times (\lambda \bigsqcup \mu )$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,(y,z))=\{\begin{array}{ll}((x,y),0)& \text{if }z=0\\ ((x,y),1)& \text{if }z=1\end{array}$$

$$g((x,y),z)=\{\begin{array}{ll}(x,(y,0))& \text{if }z=0\\ (x,(y,1))& \text{if }z=1\end{array}$$

이제 두 함수의 합성에 대해 살펴보자.

$$(f\circ g)((x,y),z)=\{\begin{array}{ll}f(x,(y,0))& \text{if }z=0\\ f(x,(y,1))& \text{if }z=1\end{array}=\{\begin{array}{ll}((x,y),0)& \text{if }z=0\\ ((x,y),1)& \text{if }z=1\end{array}=((x,y),z)$$

같은 방법으로 $(g\circ f)(x,(y,z))=(x,(y,z))$임을 알 수 있다. 따라서 $f$는 전단사함수이다. 그러므로 $\kappa (\lambda +\mu )=|\kappa \times (\lambda \bigsqcup \mu )|=|(\kappa \times \lambda )\bigsqcup (\kappa \times \mu )|=\kappa \lambda +\kappa \mu$가 성립한다.

$◼$

 

Part 14. 지수법칙1 :

함수 $f\in {\kappa }^{\lambda \bigsqcup \mu }$를 함수 $g(x)=f(x,0)$와 $h(x)=f(x,1)$의 순서쌍 $(g,h)$로 대응시키는 함수를 생각하면 그 함수가 ${\kappa }^{\lambda \bigsqcup \mu }$에서 ${\kappa }^{\lambda }\times {\kappa }^{\mu }$로 가는 전단사함수가 됨은 쉽게 알 수 있다. 따라서 ${\kappa }^{\lambda +\mu }={\kappa }^{\lambda }{\kappa }^{\mu }$가 성립한다.

$◼$

 

Part 15. 지수법칙2 :

함수 $f\in ({\kappa }^{\lambda }{)}^{\mu }$를 다음을 만족하는 함수 $g\in {\kappa }^{\lambda \times \mu }$에 대응시키는 함수 $h$를 생각하자.

$$\mathrm{\forall }a\in \mu ,\mathrm{\forall }b\in \lambda (f(a))(b)=g(b,a)$$

그러면 함수 $h$는 잘 정의되며 전단사함수가 된다는 사실을 쉽게 알 수 있다. 따라서 ${\kappa }^{\lambda \mu }=({\kappa }^{\lambda }{)}^{\mu }$가 성립한다.

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Part 16. 거듭제곱의 곱셈에 대한 분배법칙 :

함수 $f\in (\kappa \times \lambda {)}^{\mu }$를 모든 $x\in \mu$에 대해 $f(x)=(g(x),h(x))$를 만족하는 두 함수 $g:\mu \to \kappa$와 $h:\mu \to \lambda$의 순서쌍 $(g,h)$에 대응시키는 함수를 생각하면 그 함수가 $(\kappa \times \lambda {)}^{\mu }$에서 ${\kappa }^{\mu }\times {\lambda }^{\mu }$로 가는 전단사함수가 됨은 쉽게 알 수 있다. 따라서 $(\kappa \lambda {)}^{\mu }={\kappa }^{\mu }{\lambda }^{\mu }$가 성립한다.

$◼$

 

또한, 임의의 세 기수 $\kappa$, $\lambda$, $\mu$에 대해 다음 성질이 항상 성립한다.

 

1. 덧셈의 단조성: $$\kappa \le \lambda \Rightarrow \kappa +\mu \le \lambda +\mu$$ 2. 곱셈의 단조성: $$\kappa \le \lambda \Rightarrow \kappa \mu \le \lambda \mu$$ 3. 거듭제곱의 단조성1: $$\kappa \le \lambda \Rightarrow {\kappa }^{\mu }\le {\lambda }^{\mu }$$ 4. 거듭제곱의 단조성2: $$\kappa \le \lambda \Rightarrow {\mu }^{\kappa }\le {\mu }^{\lambda }$$

 

위 4가지 명제의 증명은 비교적 간단하므로 따로 서술하지는 않겠다.