집합론, 그 스물다섯 번째 이야기 | 가산 무한 기수의 성질 ( Properties of The Countable Infinite Cardinal )

이번 글에서는 가산 무한 기수 ${\mathrm{\aleph }}_0$의 성질에 대해 설명할 것이다. 가산 무한 기수 ${\mathrm{\aleph }}_0$에 대해 다음의 성질이 성립한다.

 

1. 모든 무한 기수 $\kappa$에 대해 항상 부등식 ${\mathrm{\aleph }}_0\le \kappa$가 성립한다. 2. ${\mathrm{\aleph }}_0+{\mathrm{\aleph }}_0={\mathrm{\aleph }}_0$ 3, ${\mathrm{\aleph }}_0{\mathrm{\aleph }}_0={\mathrm{\aleph }}_0$

 

Part 1.

$\kappa$를 무한 기수라고 하고, 집합 $K$를 $|K|=\kappa$를 만족하는 임의의 집합이라고 하자. 그러면 $K$는 무한집합이므로 임의의 $K$의 유한 부분집합 $A$에 대해 $x\in K\setminus A$이 항상 존재한다. 이를 통해 우리는 $K$의 원소만으로 이루어진 무한 수열 $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$의 존재를 보장받을 수 있다. 이때, $X=\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$는 $K$의 부분집합이며, $|X|={\mathrm{\aleph }}_0$임은 자명하므로 ${\mathrm{\aleph }}_0\le \kappa$이다.

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Part 2.

${\mathrm{\aleph }}_0+{\mathrm{\aleph }}_0=|\mathbb{N}\bigsqcup \mathbb{N}|$이다. 이제 함수 $f:\mathbb{N}\bigsqcup \mathbb{N}\to \mathbb{N}$을 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,y)=2x+y$$

그러면 함수 $f$가 전단사함수가 됨은 자명하다. 따라서 $|\mathbb{N}\bigsqcup \mathbb{N}|=|\mathbb{N}|$이다. 즉, ${\mathrm{\aleph }}_0+{\mathrm{\aleph }}_0={\mathrm{\aleph }}_0$이다.

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Part 3.

${\mathrm{\aleph }}_0{\mathrm{\aleph }}_0=|{\mathbb{N}}^2|$이다. 이제 함수 $f:{\mathbb{N}}^2\to \mathbb{N}$를 다음과 같이 정의하자.

$$f(x,y)={\displaystyle \frac{(x+y+1)(x+y+2)}{2}-y-1}$$

그러면 함수 $f$가 전단사함수가 됨은 자명하다. 따라서 $|{\mathbb{N}}^2|=|\mathbb{N}|$이다. 즉, ${\mathrm{\aleph }}_0{\mathrm{\aleph }}_0={\mathrm{\aleph }}_0$이다.

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