수리물리, 그 첫 번째 이야기 | 벡터간 연산

 

스칼라(scalar)는 크기만을 갖는 물리량이다. 대표적인 물리량으로는 질량, 밀도, 온도등이 있다. 벡터(vector)는 방향과 크기를 동시에 가지는 물리량이다. 대표적인 물리량으로는 변위, 속도, 가속도, 힘 등이 있다.

벡터는 고전역학, 전자기학과 같은 물리를 공부함에 있어 필수적인 개념이다. 벡터에 대한 이해가 없다면, 물리학을 공부하는 것을 상당히 어려울 것이다. 이번 포스팅에서는 이러한 벡터들의 성질과 사이의 연산에 대해 다룰 것이다. 

여기서 기본적으로 다루는 벡터들은 모두 $x, y, z$성분을 가진 3차원 벡터이다. 표기법으로는 $\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)$를 사용할 것이다.

 

1. 벡터의 항등

$\mathbf{A} = \mathbf{B}$의 의미는 각 성분이 같음을 의미한다. 즉, $(A_x,A_y, A_z) = (B_x, B_y, B_z)$ 또는 $A_x = B_x, A_y = B_y, A_z =B_z$를 만족한다. 기하학적인 의미는 크기와 방향이 같은 두 벡터를 나타낸다.

 

2. 벡터의 덧셈

$ \mathbf{A} = \mathbf{B} = (A_x , A_y, A_z) + (B_x, B_y, B_z) = (A_x+B_x, A_y+B_y, A_z+B_z)$으로 정의한다. 기하학적인 의미는 두 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형을 그렸을 때 나머지 한 점을 가리키는 벡터이다.

벡터 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$의 합

 

3. 벡터의 스칼라 곱

벡터의 스칼라 곱은 다음과 같이 정의한다.

$c\mathbf{A} = c(A_x, A_y, A_z) = (cA_x, cA_y, cA_z) = \mathbf{A}c$

벡터와 스칼라 사이 곱에서는 교환법칙이 성립한다. 크기가 $|c|$배인 벡터를 나타내며, $c$가 양수일경우 같은방향, 음수일 경우 반대방향을 가리킨다.

 

4. 벡터의 뺄셈

백터의 뺄셈은 벡터에 $-1$을 곱한 벡터를 더하는 것으로 정의한다.

$\mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-1)\mathbf{B}=(A_x-B_x,A_y-B_y,A_z-B_z)$

이 벡터는 $\mathbf{B}$의 끝점에서 $\mathbf{A}$의 끝점을 잇는 벡터와 같다.

벡터 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$의 차

 

5. 영 벡터

$ \mathbf{O} = (0,0,0)$를 영 벡터라고 한다. 벡터 사이연산에서 보통 0을 쓰면 이 영벡터를 의미한다.

 

6. 덧셈의 교환법칙

$A_x + B_x = B_x +A_x$이고, 다른 성분들에 대해서도 성립하므로, 벡터에 대해 교환법칙이 성립한다.

$ \mathbf{A} +\mathbf{B} = \mathbf{B}+ \mathbf{A}$

 

7. 덧셈의 결합 법칙

덧셈, 곱셉에 대한 결합법칙이 벡터의 덧셈에 대해서도 결합 법칙이 성립한다. 덧셈에 대한 결합법칙을 이용하여 보일 수 있다.

$ \mathbf{A} +(\mathbf{B}+\mathbf{C})$

$=(A_x+(B_x+C_x),A_y+(B_y+C_y),A_z+(B_z+C_z))$

$=((A_x+B_x)+C_x,(A_y+B_y)+C_y,(A_z+B_z)+C_z)$

$=(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}$

 

8. 분배 법칙

스칼라의 곱에 대한 분배 법칙이 성립한다.

$c(\mathbf{A} +\mathbf{B})=c(A_x+B_x, A_y+B_y, A_z+B_z)$

$=(c(A_x+B_x), c(A_y+B_y), c(A_z+B_z))$

$= (cA_x+cB_x, cA_y+cB_y, cA_z+cB_z)$

$=c\mathbf{A}+c\mathbf{B}$

 

9. 벡터의 크기

벡터의 크기 $A, |\mathbf{A}|$는 직교좌표계 $(x,y,z)$에서 각 성분의 제곱의 합의 제곱근으로 정한다.

$$A = |\mathbf{A}| = \sqrt{A_x ^2 + A_y ^2 +A_x ^2}$$

이 크기는 변의 길이가 각각 $|A_x|,|A_y|,|A_z|$인 직육면체의 대각선의 길이가 같다.

 

10. 단위벡터

벡터의 크기를 정의하였으므로, 크기가 1인 벡터인 단위벡터를 정의할 수 있다.

방향이 $\mathbf{A}$와 같고, 크기가 1인 벡터를 다음과 같이 표기한다.$$\mathbf{\hat{A}} = \frac{\mathbf{A}}{A}$$ 그리고, 이를 이용하여, 직교좌표계 $(x,y,z)$의 단위벡터를 정의할 수 있다. 보통 직교좌표계의 단위벡터를 $\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}},\mathbf{\hat{z}}$혹은 $\mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}},\mathbf{\hat{k}}$ 으로 표기하며, 각각은 $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ 으로 나타낼 수 있다.