수리물리, 그 네 번째 이야기 | 벡터의 미분

 

$u$를 변수로 가지는 $\mathbf{A}(u)$에 대해, 변수 $u$에 대한 미분은 성분별로 미분한것과 같다. $$\displaystyle\frac{d\mathbf{A}}{du} = \displaystyle \frac{dA_x}{du} \mathbf{\hat{i}}+\frac{dA_y}{du} \mathbf{\hat{j}}+\frac{dA_z}{du} \mathbf{\hat{k}}$$

위 공식의 증명은 기존의 미분의 정의처럼 극한을 이용한다.$$\displaystyle\frac{d\mathbf{A}}{du} = \lim_{\Delta u\rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{A}}{\Delta u} = \lim_{\Delta u\rightarrow 0} \displaystyle \frac{\Delta A_x}{\Delta u} \mathbf{\hat{i}}+\frac{\Delta A_y}{\Delta u} \mathbf{\hat{j}}+\frac{\Delta A_z}{\Delta u} \mathbf{\hat{k}}  = \displaystyle \frac{dA_x}{du} \mathbf{\hat{i}}+\frac{dA_y}{du} \mathbf{\hat{j}}+\frac{dA_z}{du} \mathbf{\hat{k}}$$

이 방법을 이용하면, 곱함수 미분과 같은 성질을 유도할 수 있다.

$$\displaystyle \frac{d (n\mathbf{A})}{du} = \frac{dn}{du}\mathbf{A}+n\frac{\mathbf{A}}{du}$$ $$\displaystyle \frac{d (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})}{du} = \frac{d\mathbf{A}}{du}\cdot\mathbf{B} + \mathbf{A}\cdot\frac{\mathbf{B}}{du}$$ $$\displaystyle \frac{d (\mathbf{A}\times\mathbf{B})}{du} = \frac{d\mathbf{A}}{du}\times\mathbf{B} + \mathbf{A}\times\frac{\mathbf{B}}{du}$$

- 스칼라 곱에 대한 미분

$$\displaystyle \frac{d (n\mathbf{A})}{du} = \lim_{\Delta u\rightarrow 0} \frac{(n+\Delta n)(\mathbf{A}+\Delta\mathbf{A})-n\mathbf{A}}{\Delta u} = \lim_{\Delta u\rightarrow 0} \frac{\Delta n\mathbf{A} +n\Delta\mathbf{A}+\Delta n\Delta\mathbf{A}}{\Delta u} = \frac{dn}{du}\mathbf{A}+n\frac{d\mathbf{A}}{du}$$

- 벡터 곱에 대한 미분

벡터의 내적에 대해서 계산을 할 것이지만, 둘 다 동일하게 분배법칙이 성립하기 떄문에 증명방식이 동일하다.$$\displaystyle\frac{d(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})}{du} = \lim_{\Delta u\rightarrow 0} \frac{(\mathbf{A}+\Delta \mathbf{A})\cdot(\mathbf{B}+\Delta\mathbf{B})-\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}}{\Delta u} = \lim_{\Delta u\rightarrow 0} \frac{\Delta\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot\Delta\mathbf{B} +\Delta\mathbf{A}\cdot\Delta\mathbf{B}}{\Delta u} \\= \frac{d\mathbf{A}}{du}\cdot\mathbf{B} + \mathbf{A}\cdot\frac{\mathbf{B}}{du}$$

보통 물리에서는 시간에 대한 미분을 다룬다. 우리가 알고 있는 가속도와 속도는 각각 변위벡터의 시간에 대해 2번 미분, 1번 미분으로 정의한다. 수식으로 쓰면, 다음과 같이 쓸 수 있다. $$\mathbf{a} = \displaystyle \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \ddot{\mathbf{r}},\;\mathbf{v} = \displaystyle\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot{\mathbf{r}}$$ 여기서 이렇게 성분별로 미분을 할 수 있었던 이유는 단위벡터가 시간에 따라 변하지 않기 때문이다. 나중에 좌표계를 극좌표계, 원통좌표계, 구좌표계등으로 확장하면, 단위벡터의 크기는 시간에 따라 변한다. 이러한 단위벡터의 미분은 좌표계 포스팅에서 다룰 예정이다. 그리고, 전자기학에서 다루는 델(del)연산자와 관련된 미분법칙도 이후의 포스팅에서 다룰 예정이다.