수리물리, 그 다섯 번째 이야기 | 극좌표계  By 영마닝

지금까지 대부분의 논의는 직교좌표계에서 이루어졌다. 직교좌표계는 x,y,z축 3개를 이용하여 물체의 위치를 나타낸다. 이는 우리에게 가장 친숙하지만, 다른 좌표계를 이용하는 것이 물리적인 상황을 기술하는데 있어 편리하다. 가장 많이 활용되는 좌표계로 극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계가 있다. 이 글에서는 극좌표계에서 사용하는 변수의 정의와 사용하는 단위벡터의 정의와 미분에 대해 알아볼 것이다.

극좌표의 변수와 단위벡터

극좌표계에서는 두가지 변수를 정의한다. 원점으로부터 떨어진 거리 r과 시초선(그림에서 x축)에서 잰 각을 θ로 정의한다. 그리고, 단위벡터는 지름방향 단위벡터 r^과 그에 수직한 θ^ 두가지 변수로 정의한다.(이 벡터의 방향은 각 좌표변수가 가장 빠르게 증가하는 방향이다.)

직교좌표계에서의 A(x,y)를 극좌표로 표현하는 방법은 다음과 같다.r=x2+y2tanθ=yx 또한, 단위벡터들은 직교좌표계의 단위벡터를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.r^=cosθi^+sinθj^θ^=sinθi^cosθj^아래 그림을 보면 이해할 수 있을 것이다.

직교좌표계의 단위벡터들은 시간에 따라 변하지 않지만, 극좌표계의 단위벡터들은 위치에 따라 방향이 바뀌므로, 시간에 따라 변한다. 단위벡터의 미분에 대해 다음과 같은 공식이 성립한다. r^˙=θ˙θ^θ^˙=θ˙r^ 이 공식은 직접적으로 미분을 해보면 얻을 수 있다. dr^dt=dr^dθdθdt=θ˙(cosθi^sinθj^)=θ˙θ^dθ^dt=dθ^dθdθdt=θ˙(sinθicosθj)=θ˙r^ 또는 이 공식을 기하적인 방법으로 증명할 수 있다. 아래 그림과 같이 θ를 조금 변화시킨다면, r^θ^의 미소변화는 각각 θ^,r^에 평행하고, 크기는 Δθ와 같음을 알 수 있다.

다음 포스팅은 원통좌표계에서의 단위벡터의 정의와 그의 미분이다.

 

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