수리물리, 그 다섯 번째 이야기 | 극좌표계

지금까지 대부분의 논의는 직교좌표계에서 이루어졌다. 직교좌표계는 $x,y,z$축 3개를 이용하여 물체의 위치를 나타낸다. 이는 우리에게 가장 친숙하지만, 다른 좌표계를 이용하는 것이 물리적인 상황을 기술하는데 있어 편리하다. 가장 많이 활용되는 좌표계로 극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계가 있다. 이 글에서는 극좌표계에서 사용하는 변수의 정의와 사용하는 단위벡터의 정의와 미분에 대해 알아볼 것이다.

극좌표의 변수와 단위벡터

극좌표계에서는 두가지 변수를 정의한다. 원점으로부터 떨어진 거리 $r$과 시초선(그림에서 $x$축)에서 잰 각을 $\theta$로 정의한다. 그리고, 단위벡터는 지름방향 단위벡터 $\mathbf{\hat{r}}$과 그에 수직한 $\mathbf{\hat{\mathbf{\theta}}}$ 두가지 변수로 정의한다.(이 벡터의 방향은 각 좌표변수가 가장 빠르게 증가하는 방향이다.)

직교좌표계에서의 $A(x,y)$를 극좌표로 표현하는 방법은 다음과 같다.$$r = \sqrt{x^2+y^2}\quad \tan\theta = \frac{y}{x}$$ 또한, 단위벡터들은 직교좌표계의 단위벡터를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.$$ \mathbf{\hat{r}} = \cos{\theta} \mathbf{\hat{i}}+\sin{\theta}\mathbf{\hat{j}}\\ \mathbf{\hat{\mathbf{\theta}}} = \sin\theta\mathbf{\hat{i}}-\cos\theta\mathbf{\hat{j}}$$아래 그림을 보면 이해할 수 있을 것이다.

직교좌표계의 단위벡터들은 시간에 따라 변하지 않지만, 극좌표계의 단위벡터들은 위치에 따라 방향이 바뀌므로, 시간에 따라 변한다. 단위벡터의 미분에 대해 다음과 같은 공식이 성립한다. $$\dot{\mathbf{\hat{r}}} = \dot\theta\mathbf{\hat{\theta}}\quad\dot{\mathbf{\hat{\theta}}} = -\dot\theta{\hat{r}}$$ 이 공식은 직접적으로 미분을 해보면 얻을 수 있다. $$\frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{d\hat{r}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = 
\dot\theta(\cos\theta\mathbf{\hat{i}}-\sin\theta\mathbf{\hat{j}}) = \dot\theta\hat{\theta}\\\frac{d\hat{\theta}}{dt} = \frac{d\hat{\theta}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = \dot\theta(-\sin\theta\mathbf{i}-\cos\theta\mathbf{j}) = -\dot\theta \hat{r}$$ 또는 이 공식을 기하적인 방법으로 증명할 수 있다. 아래 그림과 같이 $\theta$를 조금 변화시킨다면, $\hat{r}$과 $\hat{\theta}$의 미소변화는 각각 $\hat{\theta}, \hat{r}$에 평행하고, 크기는 $\Delta\theta$와 같음을 알 수 있다.

다음 포스팅은 원통좌표계에서의 단위벡터의 정의와 그의 미분이다.