수리물리, 그 세 번째 이야기 | BAC-CAB 공식

BAC-CAB 공식  $$\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = \mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})$$

백캡 공식은 회전과 관련된 공식의 유도에서 종종 보이는 공식으로, 알아둘 필요성이 있다.

먼저 단순한 증명법으로는, 한가지 성분에 대해 직접 계산하는 방법이 있다.

$$\begin{array}{rcl} (\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}))_x &=& A_y(\mathbf{B}\times{C}_z - A_z(\mathbf{B}\times\mathbf{C})_y \\ &=& A_y(B_xC_y - B_yC_x) - A_z(B_zC_x-B_xC_z) \\&=& B_x(A_xC_x+A_yC_y+A_zB_x)-C_x(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)\\& =& (\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}))_x -(\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}))_x\end{array}$$

$y,z$에 대해서도 같은 계산을 하여 증명할 수 있다.

이 아래에서부터는 $x,y,z$를 각각 $1,2,3$이라 하고, 단위벡터를 $\mathbf{\hat{e_1}},\mathbf{\hat{e_2}},\mathbf{\hat{e_3}}$ 라고 하자.

레비-치비타 심볼과 크로네커 심볼 사이 관계 $$\epsilon_{ijk}\epsilon_{pqk} = \delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp}$$

이 공식의 특징은 공통된 $k$를 없애는데 있다.

$\epsilon_{ijk} = \displaystyle\sum_{p,q,r=1}^{3} \epsilon_{pqr}\delta_{pi}\delta_{qj}\delta_{rk}$를 만족하는다는 사실은 델타가 모두 1이 되기 위한 조건이 $p = i,q=j,r=k$라는 것으로부터 알 수 있다.

행렬식의 여인수 전개에 대해 생각해본다면, $$\epsilon_{ijk} = \begin{vmatrix}\delta_{1i}&\delta_{1j}&\delta_{1k}\\\delta_{2i}&\delta_{2j}&\delta_{2k}\\\delta_{3i}&\delta_{3j}&\delta_{3k}\end{vmatrix}$$ 임을 알 수 있다. $epsilon_{pqk}$에 대해서도 같은 공식을 쓸 수 있다. $$\epsilon_{pqk} = \begin{vmatrix}\delta_{1p}&\delta_{1q}&\delta_{1k}\\\delta_{2p}&\delta_{2q}&\delta_{2k}\\\delta_{3p}&\delta_{3q}&\delta_{3k}\end{vmatrix}$$ $\text{det}\mathbf{A} = \text{det}\mathbf{A}^T$와 $\text{det}\mathbf{A}\det\mathbf{B} = \text{det}\mathbf{AB}$라는 사실을 이용하여 둘 사이 곱을 구할 수 있다.$$\begin{array}{rcl} \epsilon_{ijk}\epsilon_{pqk} &=& \begin{vmatrix} \delta_{1p} &\delta_{2p}&\delta_{3p}\\\delta_{1q} &\delta_{2q}&\delta_{3q}\\\delta_{1k} &\delta_{2k}&\delta_{3k}\end{vmatrix} \begin{vmatrix}\delta_{1i}&\delta_{1j}&\delta_{1k}\\\delta_{2i}&\delta_{2j}&\delta_{2k}\\\delta_{3i}&\delta_{3j}&\delta_{3k}\end{vmatrix} \\&=& \begin{vmatrix} \delta_{1i}\delta_{1p}+\delta_{2i}\delta_{2p}+\delta_{3i}\delta_{3p}&\delta_{1j}\delta_{1p} +\delta_{2j}\delta_{2p}+\delta_{3j}\delta_{3p}&\delta_{1k}\delta_{1p} +\delta_{2k}\delta_{2p}+\delta_{3k}\delta_{3p}\\\delta_{1i}\delta_{1q} +\delta_{2i}\delta_{2q}+\delta_{3i}\delta_{3q}&\delta_{1j}\delta_{1q} +\delta_{2j}\delta_{2q}+\delta_{3j}\delta_{3q}&\delta_{1k}\delta_{1q} +\delta_{2k}\delta_{2q}+\delta_{3k}\delta_{3q}\\\delta_{1i}\delta_{1k} +\delta_{2i}\delta_{2k}+\delta_{3i}\delta_{3k}&\delta_{1j}\delta_{1k} +\delta_{2j}\delta_{2k}+\delta_{3j}\delta_{3k}&\delta_{1k}\delta_{1k} +\delta_{2k}\delta_{2k}+\delta_{3k}\delta_{3k}\end{vmatrix}\\&=&\begin{vmatrix} \delta_{ip}&\delta_{jp}&\delta_{kp}\\\delta_{iq}&\delta_{jq}&\delta_{kq}\\\delta_{ik}&\delta_{jk}&\delta_{kk} \end{vmatrix}\end{array}$$ 여기서 각 행렬식의 원소를 크로네커 심볼 하나에 대응 시켰다. $\delta_{1i}\delta_{1j} +\delta_{2i}\delta_{2j}+\delta_{3i}\delta_{3j}$를 생각해보면, $i\neq j$인 경우에는 둘다 1이 되는 경우가 없으므로 0이고, $i=j$일 때는 딱 한번 1이 되므로, $\delta_{ij}$와 같다. 또한, 우리는 레비 치비타 심볼이 0이 아닌경우에 대해 다룰 것이므로, $i,j,k$와 $p,q,k$는 각각 서로 다르다. 따라서 위의 행렬식은 아래와 같이 쓸 수 있다.$$\begin{vmatrix}\delta_{ip}&\delta_{jp}&0\\\delta_{iq}&\delta_{jq}&0\\0&0&1  \end{vmatrix}$$ 행렬식의 값은 $\delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp}$이므로, 증명이 끝났다.

이제, 이것을 이용하여 BAC-CAB 공식을 유도할 수 있다.

$$\begin{array}{rcl} \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) &=& \displaystyle \sum_{i,j,k=1}^{3} \epsilon_{ijk}\mathbf{\hat{e_i}}A_j(\mathbf{B}\times\mathbf{C})_k \\&=& \displaystyle\sum_{i,j,k=1}^{3} \epsilon_{ijk}\mathbf{\hat{e_i}} A_j\displaystyle\sum_{p,q =1}^{3}\epsilon_{pqk}B_pC_q \\&=& \displaystyle\sum_{i,j,k=1}^{3}\sum_{p,q = 1}^{3} \epsilon_{ijk}\epsilon_{pqk} \mathbf{\hat{e_i}}A_jB_pC_q \\&=&\displaystyle\sum_{i,j,p,q=1}^{3} (\delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp})\mathbf{\hat{e_i}}A_jB_pC_q \\&=& \displaystyle\sum_{i =1}^{3}\mathbf{\hat{e_i}}\left(B_i\displaystyle\sum_{j,q = 1}^{3}\delta_{jq}A_jC_q - C_i\sum_{j,p=1}^{3}\delta_{jp}A_jB_p \right)\\&=&\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}) \end{array}$$ 중간 과정에서 $p$에 대한 합을 먼저 구해서 $\delta_{ip}B_i$를 앞으로 꺼냈고, $q$에 대한 합을 구해서 $\delta_{qi}C_i$를 앞으로 꺼냈다.

BAC-CAB 공식을 증명하는 2가지 방법에 대해 알아보았다. 첫번째 방법이 단순한 정의로부터 나오기 때문에 생각하기는 쉽지만 계산이 귀찮다. 두번째 방법은 다른 공식을 이용하긴 해야하자만, BAC-CAB공식 증명 자체는 깔끔하다.