수리물리, 그 두번째 이야기 | 벡터의 내적,외적

벡터의 내적 두 벡터 $\mathbf{A}, \mathbf{B}$사이의 내적은 다음과 같이 정의한다.$$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = AB\cos\theta = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$$

대표적으로 일의 정의로 내적을 이용한다.

이 식은 크로네커 심볼(Kronecker’s symbol)를 통해 좀더 간편하게 표기할 수 있다.

크로네커 심볼(Kronecker’s symbol) $$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 &(i = j)\\ 0 &(\text{otherwise}) \end{cases} $$

$x,y,z$를 각각 $1,2,3$에 대응시키면, 내적을 쉽게 나타낼 수 있다.

$$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \displaystyle \sum_{i,j = 1}^{3} \delta_{ij} A_iB_j$$

벡터의 내적에 대해 다읍과 같은 3가지 성질을 만족한다.

$$\mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \mathbf{B}\cdot\mathbf{A}$$$$\mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}+\mathbf{C}\right) = \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} + \mathbf{A}\cdot\mathbf{C}$$ $$c(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}) = (c\mathbf{A})\cdot\mathbf{B} = \mathbf{A}\cdot(c\mathbf{B})$$

벡터의 내적의 기하학적인 의미는 한 벡테 방향으로 다른 벡터 사영이다. $AB\cos\theta$에서, $B\cos\theta$가 $\mathbf{B}$를 $\mathbf{A}$에 사영시킨 것이다. 반대로, $\mathbf{B}$에 $\mathbf{A}$를 사영시켜서 계산해도 결과값은 동일하다.

벡터 $\mathbf{B}$를 $\mathbf{A}$에 사영

벡터의 외적 두 벡터 $\mathbf{A},\mathbf{B}$사이의 외적은 다음과 같이 정의한다. $$\mathbf{A}\times\mathbf{B} = (A_yB_z-A_zB_y, A_zB_x-A_xB_z, A_xB_y-A_yB_z)$$ 행렬식을 이용하여 더 쉽게 나타낼 수 있다. $$\mathbf{A}\times\mathbf{B} =  \begin{vmatrix} \mathbf{\hat{i}}&\mathbf{\hat{j}}&\mathbf{\hat{k}}\\ A_x & A_y &A_z\\ B_x & B_y & B_z\\ \end{vmatrix}$$

벡터의 외적은 각운동량, 토크와 같은 회전변수의 정의와 관련되어있다.

마찬가지로, 이 식은 레비-치비타 심볼(Levi-Civita symbol)를 이용하여 쉽게 나타낼 수 있다.

레비-치비타 심볼(Levi-Civita symbol) $$ \epsilon_{ijk} =  \begin{cases} 1&((i,j,k) = (1,2,3) \;\text{or}\; (2,3,1)\; \text{or}\; (3,1,2))\\ -1&((i,j,k) = (1,3,2)\; \text{or}\; (2,1,3)\; \text{or}\; (3,2,1))\\ 0 &(i = j \;\text{or}\; j=k\;\text{or}\;k=i) \end{cases} $$

$x,y,z$를 $1,2,3$으로 대응하고, 단위벡터를 $\mathbf{\hat{e_1}},\mathbf{\hat{e_2}},\mathbf{\hat{e_3}}$ 이라 두면, 벡터의 외적을 쉽게 나타낼 수 있다. $$\mathbf{A}\times\mathbf{B} =\displaystyle \sum_{i,j,k = 1}^{3} \epsilon_{ijk}\mathbf{\hat{e_i}} A_jB_k$$

벡터의 외적에 대해, 다음과 같은 3가지 성질을 만족한다.

$$\mathbf{A}\times\mathbf{B} = -\mathbf{B}\times\mathbf{A}$$ $$ \mathbf{A}\times(\mathbf{B}+\mathbf{C}) = \mathbf{A}\times\mathbf{B} +\mathbf{A}\times\mathbf{C}$$ $$c(\mathbf{A}\times \mathbf{B}) = (c\mathbf{A})\times\mathbf{B} = \mathbf{A}\times(c\mathbf{B})$$

그리고, 두 벡터의 외적은 다음과 같은 2가지 특징을 가지고 있다.

$|\mathbf{A}\times\mathbf{B}| = AB\sin\theta$ $\mathbf{A}\times\mathbf{B}$는 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$에 수직하다.

정의로부터 두 벡터를 외적한 벡터의 크기를 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rcl} |\mathbf{A}\times\mathbf{B}|^2 &=&(A_yB_z-A_zB_y)^2 + (A_zB_x-A_xB_z)^2 + (A_xB_y-A_yB_z)^2\\&=& (A_x^2 + A_y^2 +A_z^2)(B_x^2 + B_y^2+B_z^2)-(A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z)^2\\&=&A^2B^2-(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})^2 \end{array}$$

$$|\mathbf{A}\times\mathbf{B}| = AB\sqrt{1-\cos^2\theta} = AB\sin\theta$$ 

이 값은, $\mathbf{A},\mathbf{B}$를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이임을 알 수 있다.

벡터의 외적과 평행사변형

또한, 두 벡터의 외적은 두 벡터의 대해 수직하다는 성질은 첫번째 정의를 이용하여 계산할 수 있다.

$$\mathbf{A}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = A_x(A_yB_z - A_zB_y) + A_y(A_zB_x-A_xB_z) + A_z(A_xB_y - A_yB_x) =0$$

벡터곱의 방향은 오른손으로 $\mathbf{A}$에서 $\mathbf{B}$으로 감았을 때, 엄지손가락이 가리키는 방향이며, $\mathbf{A}, \mathbf{B}$를 포함하는 평면에 수직이다.

위의 내용을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

 벡터 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{B}$의 외적

벡터의 삼중곱$$\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = \begin{vmatrix}A_x & A_y &A_z\\B_x & B_y &B_z\\C_x & C_y & C_z\end{vmatrix}$$ $$\mathbf{A} \times (\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = \mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})$$

내적을 포함한 삼중적은 외적의 정의에서 단위벡터이 있던 위치에 각각에 대응하는 $\mathbf{A}$의 성분들을 대입한 것이다. 이는 좌표계의 단위벡터들이 직교함을 통해 쉽게 알 수 있다. 이러한 결과와 행렬식에 공통된 행이 존재할 경우 값이 0이 된다는 사실을 이용하면 벡터의 외적이 각 벡터들에 수직임을 알 수 있다. 또한, 이 값의 절댓값의 의미는 $\mathbf{A}, \mathbf{B},\mathbf{C}$를 세 변으로 하는 평행 육면체의 부피이다. 

벡터의 삼중곱과 평행육면체

위 그림에서 알 수 있듯이, 내적을 통해 $\mathbf{B},\mathbf{C}$를 포함하는 평행사변형을 밑면으로 하고, 그 둘에 수직한 벡터와의 내적을 통해 임체도형의 높이를 구할 수 있다.

외적을 포함한 삼중곱을 BAC-CAB공식이라고 하는데, 이에 대한 증명은 레비-치비타 심볼과 크로네커 심볼 사이의 공식 $\epsilon_{ijk}\epsilon{pqk} = \delta_{ip}\delta_{jq}-\delta_{iq}\delta_{jp}$의 증명과 함께 다음 포스팅에서 이루어질 예정이다.