해석학, 그 세 번째 이야기 | 정수의 정의

이전 글들에서 자연수와 그의 연산에 대해 정의했었다. 예상했다시피 자연수 다음엔 정수를 정의한다. 이번 글에서는 정수의 정의에 대해 알아볼 것이다. 정수를 정의하기 위해서는 미리 정의해야 하는 것이 있다. 다음 관계가 바로 그것이다.

 

정수를 정의하기 위해 우리는 $\mathbb{N}^2$에 다음 동치관계를 부여할 것이다. $$(n,m)\sim(n^*,m^*)\Leftrightarrow n+m^*=n^*+m$$

 

정수 집합 $\mathbb{Z}$는 위의 동치관계에 대한 $\mathbb{N}^2$의 몫집합 $\mathbb{N}^2/\sim$으로 정의된다. 이때, 자연수 $n$에서 $[(s(n),1)]_{\sim}$으로 대응되는 자연스러운 대응관계를 만들 수 있으며, 아래에서 정의되는대로 정수의 연산을 정의하면 $\mathbb{Z}$의 부분집합 $\{[(s(n),1)]_{\sim}|n\in\mathbb{N}\}$은 $\mathbb{N}$와 동형임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 임의의 정수 $[(n,m)]_{\sim}$이 $n\geq m$을 만족한다면 $[(n,m)]_{\sim}$ 역시 자연수라고 부르는 것이 자연스럽다.

 

다음은 정수의 순서관계이다.

 

정수에서의 순서관계는 다음을 만족하도록 정의한다. 1) $\forall n,m\in\mathbb{N},\;n\leq m\Leftrightarrow[(n,m)]_{\sim}\leq0$ 2) $\forall a,b\in\mathbb{Z},\;a-b\leq0\Leftrightarrow a\leq b$

 

이때, $0$보다 큰 정수를 양의 정수라고 하며, $0$보다 작은 정수를 음의 정수라고 부른다.

 

다음은 정수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈의 정의이다. 거듭제곱은 자연수와 같은 형태로 정의하며, 음의 정수 지수는 정의하지 않는다.

 

1. 덧셈 : $$[(n_1,m_1)]_{\sim}+[(n_2,m_2)]_{\sim}=[(n_1+n_2,m_1+m_2)]_{\sim}$$ 2. 뺄셈 : $$[(n_1,m_1)]_{\sim}+[(n_2,m_2)]_{\sim}=[(n_1+m_2,m_1+n_2)]_{\sim}$$ 3. 곱셈 : $$[(n_1,m_1)]_{\sim}+[(n_2,m_2)]_{\sim}=[(n_1n_2+m_1m_2,n_1m_2+n_2m_1)]_{\sim}$$

 

위와 같이 연산들을 정의하면 다음과 같은 연산법칙들이 성립한다. 단, 정수 $a$에 대해 $-a$는 $a$의 덧셈에 대한 역원을 말한다.

 

1. 덧셈의 결합법칙, 교환법칙 : $$\forall a,b,c\in\mathbb{Z},\;(a+b)+c=a+(b+c)\\ \forall a,b\in\mathbb{Z},\;a+b=b+a$$ 2. 뺄셈과 덧셈의 관계 : $$\forall a,b\in\mathbb{Z},\;a-b=a+(-b)$$ 3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙 : $$\forall a,b,c\in\mathbb{Z},\;a(b+c)=ab+ac$$ 4. 곱셈의 결합법칙, 교환법칙 : $$\forall a,b,c\in\mathbb{Z},\;(a\times b)\times c=a\times(b\times c)\\ \forall a,b\in\mathbb{Z},\;ab=ba$$

 

다음은 위의 연산법칙들에 대한 증명이다. 증명의 편의를 위해 $a=[(a_1,a_2)]_{\sim}$, $b=[(b_1,b_2)]_{\sim}$, $c=[(c_1,c_2)]_{\sim}$이라고 하자.

 

Part 1. 덧셈의 결합법칙, 교환법칙

$(a+b)+c=[((a_1+b_1)+c_1,(a_2+b_2)+c_2)]_{\sim}\\=[(a_1+(b_1+c_1),a_2+(b_2+c_2))]_{\sim}=a+(b+c)\quad\blacksquare$

 

$a+b=[(a_1+b_1,a_2+b_2)]_{\sim}=[(b_1+a_1,b_2+a_2)]_{\sim}=b+a\quad\blacksquare$

 

Part 2. 뺄셈과 덧셈의 관계

$a-b=[(a_1+b_2,a_2+b_1)]_{\sim}=a+[(b_2,b_1)]_{\sim}$이다.

그런데, $[(b_1,b_2)]_{\sim}+[(b_2,b_1)]_{\sim}=[(b_1+b_2,b_1+b_2)]_{\sim}=0$이므로 $[(b_2,b_1)]_{\sim}=-b$이다.

따라서 $a-b=a+(-b)$이다.

 

Part 3. 곱셈의 덧셈에 대한 분배법칙

$a(b+c)=a\times[(b_1+c_1,b_2+c_2)]_{\sim}=[(a_1(b_1+c_1)+a_2(b_2+c_2),a_1(b_2+c_2)+a_2(b_1+c_1))]_{\sim}\\=[((a_1b_1+a_2b_2)+(a_1c_1+a_2c_2),(a_1b_2+a_2b_1)+(a_1c_2+a_2c_1))]_{\sim}=ab+ac\quad\blacksquare$

 

Part 4. 곱셈의 결합법칙, 교환법칙

$(a\times b)\times c=[(a_1b_1+a_2b_2,a_1b_2+a_2b_1)]_{\sim}\times c\\=[((a_1b_1+a_2b_2)c_1+(a_1b_2+a_2b_1)c_2,(a_1b_1+a_2b_2)c_2+(a_1b_2+a_2b_1)c_1)]_{\sim}\\=[(a_1(b_1c_1+b_2c_2)+a_2(b_1c_2+b_2c_1),a_1(b_1c_2+b_2c_1)+a_2(b_1c_1+b_2c_2))]_{\sim}\\=a\times[(b_1c_1+b_2c_2,b_1c_2+b_2c_1)]_{\sim}=a\times(b\times c)\quad\blacksquare$

 

$ab=[(a_1b_1+a_2b_2,a_1b_2+a_2b_1)]_{\sim}=[(b_1a_1+b_2a_2,b_1a_2+b_2a_1)]_{\sim}=ba\quad\blacksquare$