집합론, 그 서른두 번째 이야기 | '원소관계의 무한 강하 사슬은 존재하지 않는다'의 증명 ( Proof of 'No Infinitely Descending Membership Chains' )
이번 글에서는 제목 그대로 원소관계의 무한 강하 사슬은 존재하지 않다는 사실을 보일 것이다. 이 사실은 상당히 중요한 사실 중 하나인데, 이를 통해
Theorem 1.
집합의 열 |
Proof.
정리가 틀렸다고 가정하자. 즉, 임의의 자연수
그러면 치환 공리꼴에 의해 모임
그러면 정칙성 공리에 의해
이때,
따라서
이는 임의의 자연수
위 정리는 다음과 같은 따름정리들을 이끌어낸다.
Corollary 1.
집합 그러면 임의의 양의 정수 |
Corollary 2.
위 따름정리들은 Theorem 1의 자명한 결과이므로 굳이 증명을 서술하지는 않겠다. 궁금하다면 직접 증명을 시도해보는 것을 권한다. 또한, Corollary 1으로부터 서수의 모임이 집합이 아니라는 것을 증명할 수 있다. 다음을 보자.
Corollary 3.
서수의 모임 |
Proof.
귀류법을 사용하기 위해 따름정리를 부정하자. 즉, 서수의 모임인
이때,
따라서
이제
이때,
그러면
또한, 임의의
이제
만약
그런데,
따라서
그런데,
따라서
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