집합론, 그 서른네 번째 이야기 | 서수의 열의 극한 ( Limit of Sequence of Ordinals )

이번 글에서는 서수의 열의 극한을 소개할 것이다. 서수의 열의 극한에 대해 이야기하기에 앞서, 첨수가 서수인 수열을 어떻게 표기하는지부터 알아보자.

 

Definition 1.

첨수가 $\alpha \in \text{Ord}$보다 작은 서수인 수열은 $⟨{\gamma }_{\xi }:\xi <\alpha ⟩$와 같이 나타내며, 이때, $\alpha$를 수열 $⟨{\gamma }_{\xi }:\xi <\alpha ⟩$의 길이라고 하며, 길이가 $\alpha$인 수열을 $\alpha$-수열이라고 한다.

 

이제 서수의 열의 극한에 대해 알아보자. 서수의 열의 극한의 정의는 실수열의 극한의 정의와는 거리가 있는데, 서수 자체가 이산적인 수 체계를 이루고 있기 때문이다. 서수의 열의 극한은 다음과 같이 정의한다.

 

Definition 2.

$\alpha$가 극한 서수이고, 서수의 열 $⟨{\gamma }_{\xi }:\xi <\alpha ⟩$가 비감소수열일 때, 즉, $\xi <\eta \Rightarrow {\gamma }_{\xi }\le {\gamma }_{\eta }$일 때, 이 수열의 극한을 다음과 같이 정의한다. $$\underset{\xi \to \alpha }{lim}{\gamma }_{\xi }=sup\{{\gamma }_{\xi }|\xi <\alpha \}$$

 

서수의 열은 극한 뿐만 아니라 연속도 정의 가능한데, 이는 다음과 같이 정의한다.

 

Definition 3.

서수의 열 $⟨{\gamma }_{\alpha }:\alpha \in \text{Ord}⟩$가 임의의 극한 서수 $\alpha$에 대하여 ${\displaystyle \underset{\xi \to \alpha }{lim}{\gamma }_{\xi }={\gamma }_{\alpha }}$를 만족할 때, 이 수열을 연속 수열이라고 한다.

 

이와 같이 정의된 극한은 다음과 같은 성질을 만족한다.

 

Theorem 1.

$\alpha$와 $\beta$가 극한 서수이고, 두 서수의 열 $⟨{\gamma }_{\xi }:\xi <\alpha ⟩$와 $⟨{\xi }_{\nu }:\nu <\beta ⟩$가 비감소수열이라고 하자. 이때, ${\displaystyle \underset{\nu \to \beta }{lim}{\xi }_{\nu }=\alpha }$라면 ${\displaystyle \underset{\nu \to \beta }{lim}{\gamma }_{{\xi }_{\nu }}=\underset{\xi \to \alpha }{lim}{\gamma }_{\xi }}$이다.

 

Theorem 1의 경우, 이 글의 Theorem 1에 의한 자명한 결과이므로 굳이 증명을 서술하지는 않겠다.