정수론, 그 다섯 번째 이야기 | 이항정리

이항정리를 설명하기 전에, 이항계수를 먼저 설명하자.

 

이항계수는 다음과 같이 정의한다.

$0 \leq k \leq n$ 을 만족하는 모든 양의 정수 $n$과, 정수 $k$에 대해      $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \left ( n - k \right )}$$

 

그리고, 위의 이항계수는 $_{n}C_k$ 와 같이 쓰기도 하며, 이 표기가 더 익숙한 사람도 있을 것이다.

 

또, 위의 이항계수가 가지는 성질로는 파스칼 규칙이 있다. 이는 아래의 식이 성립한다는 것이다.

 

$$\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$$

 

Proof :

항등식 $\frac{1}{k} + \frac{1}{n-k+1}=\frac{n+1}{k \left ( n - k + 1 \right )}$ 의 양 변에 $\frac{n!}{\left ( k - 1 \right )! \left ( n - k \right ) !}$ 을 곱하자. 이 때, $$\frac{n!}{k \left ( k - 1 \right) ! \left ( n - k \right ) !} + \frac{n!}{\left ( k - 1 \right ) ! \left ( n - k + 1 \right ) \left ( n - k \right ) !} = \frac{ \left ( n + 1 \right ) n!}{k \left ( k - 1 \right ) ! \left ( n - k + 1 \right ) \left ( n - k \right ) !}$$ 을 얻고, 이항계수의 정의에 의해 이는 $$\binom{n}{k} + \binom{n}{k - 1} = \binom{n+1}{k}$$ 를 의미하므로 증명된다.

 

이제 이항정리를 소개하자. 이항정리는 아래와 같은 정리이다.

 

$\left ( a + b \right )^n = \binom{n}{0}a^n + \binom{n-1}{1}a^{n-1}b+\binom{n-2}{2}a^{n-2}b^2 + \cdots + \binom{n}{n-1}ab^{n-1}+\binom{n}{n}b^n$ 이 성립한다.      이는 간단하게, $$\left ( a + b \right )^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$     가 성립함을 말한다.

 

여기서 $\displaystyle\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)$ 은

$f\left(a\right)+f\left(a+1\right)+f\left(a+2\right)+\cdots+f\left(b-1\right)+f\left(b\right)$를 의미한다.

 

Proof :

수학적 귀납법을 이용하자. 우선 $n = 1$ 일 때 성립함은 자명하다.

 

만약 어떤 정수 $m$에 대해 $n = m$일 때 이항정리가 성립한다고 가정하면, $n = m + 1$일 때

$\left ( a + b \right)^{m+1} = a\left(a+b\right)^m+b\left(a+b\right)^m$ 이 성립하므로, 귀납가정에 의해 $$a\left(a+b\right)^m=\displaystyle\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}a^{m-k+1}b^{k}=a^{m+1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\binom{m}{k}a^{m+1-k}{k}$$ $$b\left(a+b\right)^m=\displaystyle\sum_{j=0}^{m}\binom{m}{j}a^{m-j}b^{j+1}=\displaystyle\sum_{j=1}^{m}\binom{m}{k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}$$ 가 성립한다.

위 두 식을 더하면 $$\left(a+b\right)^{m+1}=a^{m+1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\left[\binom{m}{k}+\binom{m}{k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}+b{m-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{m+1}\binom{m+1}{k}a^{m+1-k}b^{k}$$ 이므로

 

$\therefore$ 수학적 귀납법에 의해 이항정리는 참