정수론, 그 다섯 번째 이야기 | 이항정리

이항정리를 설명하기 전에, 이항계수를 먼저 설명하자.

 

이항계수는 다음과 같이 정의한다.

$0\le k\le n$ 을 만족하는 모든 양의 정수 $n$과, 정수 $k$에 대해      $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)}$$

 

그리고, 위의 이항계수는 ${}_n{C}_k$ 와 같이 쓰기도 하며, 이 표기가 더 익숙한 사람도 있을 것이다.

 

또, 위의 이항계수가 가지는 성질로는 파스칼 규칙이 있다. 이는 아래의 식이 성립한다는 것이다.

 

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})$$

 

Proof :

항등식 $\frac{1}{k}+\frac{1}{n-k+1}=\frac{n+1}{k(n-k+1)}$ 의 양 변에 $\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$ 을 곱하자. 이 때, $$\frac{n!}{k(k-1)!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)(n-k)!}=\frac{(n+1)n!}{k(k-1)!(n-k+1)(n-k)!}$$ 을 얻고, 이항계수의 정의에 의해 이는 $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})$$ 를 의미하므로 증명된다.

 

이제 이항정리를 소개하자. 이항정리는 아래와 같은 정리이다.

 

${(a+b)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})a^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{1})a^{n-1}b+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{2})a^{n-2}{b}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})a{b}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})b^n$ 이 성립한다.      이는 간단하게, $${(a+b)}^n={\displaystyle \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k}$$     가 성립함을 말한다.

 

여기서 ${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f\left(k\right)}$ 은

$f\left(a\right)+f(a+1)+f(a+2)+\cdots +f(b-1)+f\left(b\right)$를 의미한다.

 

Proof :

수학적 귀납법을 이용하자. 우선 $n=1$ 일 때 성립함은 자명하다.

 

만약 어떤 정수 $m$에 대해 $n=m$일 때 이항정리가 성립한다고 가정하면, $n=m+1$일 때

${(a+b)}^{m+1}=a{(a+b)}^m+b{(a+b)}^m$ 이 성립하므로, 귀납가정에 의해 $$a{(a+b)}^m={\displaystyle \sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k=a^{m+1}+{\displaystyle \sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m+1-k}k}}$$ $$b{(a+b)}^m={\displaystyle \sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})a^{m-j}{b}^{j+1}={\displaystyle \sum _{j=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-1})a^{m+1-k}{b}^k+b^{m+1}}}$$ 가 성립한다.

위 두 식을 더하면 $${(a+b)}^{m+1}=a^{m+1}+{\displaystyle \sum _{k=1}^m[(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-1})]a^{m+1-k}{b}^k+bm-1={\displaystyle \sum _{k=0}^{m+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})a^{m+1-k}{b}^k}}$$ 이므로

 

$\therefore$ 수학적 귀납법에 의해 이항정리는 참