정수론, 그 첫 번째 이야기 | 페아노 공리계

 

자연수를 정의하는 방법에는 크게 공리적인 정의와, 집합론적인 정의가 있다.

이 글에서는 그 중 공리적인 정의인 페아노 공리계에 대해 다룬다.

 

페아노 공리계는 자연수의 집합 $\mathbb{N}$을 다음과 같은 9개의 공리로 구성하며, 이는 증명 없이 받아들이기로 한다.

 

$1.\;\forall x \in \mathbb{N},\;x=x$ (등호의 반사성)      $2.\;\forall x, y \in \mathbb{N},\;x = y \Leftrightarrow y = x$ (등호의 대칭성)      $3.\;\forall x, y, z \in \mathbb{N},\;x=y \wedge y=z \Rightarrow x=z$ (등호의 추이성)      $4.\;\forall x \in \mathbb{N},\;\forall y\;\left ( y=x \Rightarrow y \in \mathbb{N} \right )$ (등호의 닫혀있음)      $5.\; 1 \in \mathbb{N}$      $6.\;\exists\;S\;:\;\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$      $7.\;\forall x \in \mathbb{N},\; S(x) \neq 1$      $8.\;\forall x, y \in \mathbb{N},\; S(x) = S(y) \Leftrightarrow x= y$      $9.\;\forall C,\; \left (1 \in C \wedge \left ( k \in C \Rightarrow S(k) \in C \right ) \right ) \Rightarrow \mathbb{N} \subset C$ (귀납법 공리)