물리화학, 그 세 번째 이야기 | 이상 기체의 열역학적 특성

이번 포스팅에서는 이상 기체의 열역학적 특성에 대해서 다룰 것이다.

 

우선, 등적 몰 열용량과 등압 몰 열용량에 대해서 이야기하고자 한다.

 

등적 몰 열용량은 계의 부피가 일정한 조건에서 이상 기체 1몰을 1도 올리는 데 필요한 열량을 말하며, $c_v$로 쓴다.

 

다음으로 등압 몰 열용량은 계의 압력이 일정한 조건에서 이상 기체 이상 기체 1몰을 1도 올리는 데 필요한 열량을 말하며, $c_p$로 쓴다.

 

이 두 물리량은 엔탈피와 내부 에너지를 구하는 데에 사용된다. 또한, 이상 기체 상태 방정식과 엔탈피의 정의식을 이용하면, 두 물리량은 R만큼의 차이를 가진다는 것을 알 수 있다. ($ q_v  = \Delta U $, $ q_p  = \Delta H $라는 사실은 내부 에너지와 엔탈피의 정의식을 이용하면 자명하다는 사실을 알 수 있다.)

 

열과 내부 에너지, 그리고 엔탈피  $ q_v = n c_v \Delta T = \Delta U $  $ q_p = n c_p \Delta T = \Delta H $  $ c_p = c_v + R $

 

공식처럼 유도된 엔탈피와 내부 에너지를 구하는 위 식들은 등압 과정, 등적 과정뿐만 아니라 모든 열역학적 과정에 적용 가능하며, 이는 엔탈피와 내부 에너지가 상태 함수임에서 나오는 결과이다. 그렇다면, 위 식에 등장하는 $c_v$값은 어떻게 구할 수 있을까? 이는 이상 기체 분자 자체와 관련된 특성으로, 다음 법칙을 통해서 구할 수 있다.

 

에너지 등분배 법칙  1몰의 이상 기체 분자에 대해, 이차식 형태 에너지의 한 자유도에 대한 평균 에너지는 $ \frac{1}{2} RT $이다.

 

이상 기체 분자 자체의 운동에는 3가지가 있는데, 병진 운동, 회전 운동, 진동 운동의 3가지 운동을 한다.  이 운동과 에너지를 연관짓는 개념이 자유도로, N원자 분자에서의 최대 전체 자유도는 3N이 된다. (3차원 공간에서의 운동이기 때문에, 각 축별로 N씩의 자유도가 분배되어 3N만큼의 자유도가 된다.) 

 

병진과 회전 운동은 낮은 온도에서도 일어나는 형태의 운동이므로, 낮은 온도에서부터 에너지에 기여한다. 병진 운동의 경우 3개의 축으로 가능하므로 각각 $ \frac{1}{2} R $ 씩, 회전 운동의 경우 분자의 대칭성에 따라 달라지므로 회전에 따라 모양이 변하는 경우의 수만큼 각각 $ \frac{1}{2} R $ 씩 기여한다. 진동 운동의 경우 상온보다 높을 때 활성화되므로, 이때 각각 $ R $ 씩 기여한다. (진동 운동의 경우 운동에너지와 위치에너지가 동시에 작용하므로, 두 가지의 이차식 형태의 에너지가 나타나게 되어 $ R $만큼 기여하게 된다.)

 

이제, 다시 본론으로 돌아와서 $c_v$ 를 구하는 방법에 대해서 알아보자. 예시로, n몰의 단원자 이상 기체의 경우, 이상 기체이기 때문에 내부 에너지가 운동 에너지이고 3개의 축에 대해 모두 회전 대칭성이 있으므로 병진 운동에 대한 자유도만이 운동 에너지에 기여하여, $ U = E_k = \frac{3}{2} nRT = nc_vT$ 이므로 $ c_v = \frac {3}{2} R $ 이 된다. 이원자 분자의 경우에는 z축 회전만 대칭성이 있으므로 총 5가지의 자유도가 운동 에너지에 기여되어 $ c_v = \frac {5}{2} R $ 이 된다.

 

마지막으로, $ \gamma $ 라는 물리량을 소개하면서 글을 끝마치도록 하겠다. $ \gamma $ 는 $ \frac {c_p}{c_v}$ 로 정의되는 물리량으로, 몰 열용량 비라는 이름을 가지고 있다. 이 값은 이상 기체를 이루는 원자의 수에 따라서 다르게 되며, 다르게 쓰자면 $ 1 + \frac {R}{c_v}$ 로 쓸 수 있다. 이는 이상 기체의 열역학적 과정들에서 나오는 수치들을 계산할 때 유용하게 쓰인다.

 

다음 포스팅에서는 드디어 이상 기체의 열역학적 과정을 다룰 것이다.