논리학, 그 다섯 번째 이야기 | 이중부정 ( Double Negation )

이번 글에서는 이중부정 (Double Negation)에 대해 다룰 것이다. 이중부정은 말 그대로 하나의 wff에 부정을 두 번 적용한 것으로, 이는 원래의 wff와 논리적으로 동일하다. 즉, $\mathcal{B}$가 wff일 때 $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}$와 $\mathcal{B}$는 서로가 서로를 함의한다. 이는 타당한 추론 규칙이며, 많은 논리전개에 사용된다. 그럼 다음의 정리들을 보자.

 

Theorem 1. 이중부정의 제거 ( Double Negation Elimination )

$\mathcal{B}$가 wff라면, $⊢\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{B}$이다.

 

Proof.

이 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

$$\begin{array}{rll}1.& (\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B})\Rightarrow ((\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathcal{B})\Rightarrow \mathcal{B})& \text{(A3)}\\ 2.& \mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathcal{B}& ⊢\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{B}\\ 3.& (\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B})\Rightarrow \mathcal{B}& \text{1, 2, }\mathcal{B}\Rightarrow (\mathcal{C}\Rightarrow \mathcal{D}),\mathcal{C}⊢\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{D}\\ 4.& \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow (\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B})& \text{(A1)}\\ \therefore & \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{B}& \text{3, 4, }\text{HS}\end{array}$$

따라서 $⊢\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{B}$이다.

$◼$

 

앞으로 이중부정의 제거는 DNE로 줄여서 사용할 것이다.

 

Theorem 2. 이중부정의 도입 ( Double Negation Introduction )

$\mathcal{B}$가 wff라면, $⊢\mathcal{B}\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}$이다.

 

Proof.

이 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

$$\begin{array}{rll}1.& (\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathcal{B})\Rightarrow ((\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{B})\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B})& \text{(A3)}\\ 2.& \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathcal{B}& \text{DNE}\\ 3.& (\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{B})\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}& \text{1, 2, }\text{MP}\\ 4.& \mathcal{B}\Rightarrow (\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}\Rightarrow \mathcal{B})& \text{(A1)}\\ \therefore & \mathcal{B}\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}& \text{3, 4, HS}\end{array}$$

따라서 $⊢\mathcal{B}\Rightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }\mathcal{B}$이다.

$◼$

 

앞으로 이중부정의 도입은 DNI로 줄여서 사용할 것이다. 또한, 서술 과정에서 DNE인지 DNI인지 맥락으로부터 쉽게 유추할 수 있는 경우 간단히 DN으로 나타낼 것이다.