고전역학, 그 첫 번째 이야기 | 공기저항이 있는 일차원 운동(1)

고등학교에서 다루는 물리에서는 등가속도 운동 이상을 수학적으로 다루지 않는다. 물체에 작용하는 공기저항력이 $-bv$일때, 우리는 $ma = -bv$라는 운동방정식을 풀고 싶지만, 생각보다 쉽지 않다. 이러한 형태의 방정식은 $v$와 그의 미분인 $a$를 방정식에 포함하고 있기 때문에 미분방정식이라고 한다. 미분방정식을 푸는 것은 물리에서 필연적으로 필요하며, 위 방정식과 같은 단순한 선형 미분방정식부터 풀어볼 것이다.

$m\dot{v} + bv = 0$의 해 (초기조건 $x(0) = 0, v(0) = v_0$)$$v(t) = v_0e^{-\frac{b}{m}t}\\x(t) = \frac{mv_0}{b}(1-e^{-\frac{b}{m}t})$$

이 방정식은 변수분리법으로 풀 수 있다. 식을 정리하면 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\frac{dv}{dt} = -\frac{b}{m}v$$이 방정식에는 시간, 속력이라는 두 변수가 포함되어있는데, 이 두 변수를 양변에 분리할 수 있다. $$\frac{dv}{v} = -\frac{b}{m} dt$$ 이 식의 양변을 부정적분하자. $$\int\frac{dv}{v} = \int-\frac{b}{m}dt\\\ln{v} = -\frac{b}{m} t+C$$ 초기조건 $v(0) = v_0$를 대입하면, $C = \ln{v_0}$임을 알 수 있다. 이 식을 정리하면, 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.$$v = v_0e^{-\frac{b}{m}t}$$ 양변을 적분해보면, 시간에 따른 거리를 구할 수 있다. $$x = \int v dt = \int v_0e^{-\frac{b}{m}t} dt = -\frac{mv_0}{b}e^{-\frac{b}{m} t}+C$$ 마찬가지로, 초기조건 $x(0) = 0$를 대입하면, $C = \frac{mv_0}{b}$ 임을 알 수 있다. $$x(t) =\frac{mv_0}{b}(1-e^{-\frac{b}{m}t})$$ $$ e^{-\frac{b}{m} t} = \frac{v}{v_0}\\x = \frac{mv_0}{b}(1-\frac{v}{v_0}) \\ v = -\frac{b}{m} x + v_0$$ 

$m\dot{v} + bv = 0$의 속도, 변위 관계$$v = -\frac{b}{m} x + v_0$$

이 결과는 처음의 미분방정식을 시간에 대해 적분해서 쉽게 구할 수 있다.$$\int \dot{v} dt = \int-\frac{b}{m} v dt\\v = -\frac{b}{m} x+C$$ 초기조건을 대입하면 $C = v_0$이므로, 위와 같은 식을 구할 수 있다.

이제, 중력과 저항력이 모두 작용할때의 해를 구해보자. 운동방정식을 세우면 $m\dot{v} = mg-bv$이다.

$m\dot{v} = mg-bv$의 해 (초기조건 $x(0) = 0, v(0) = 0$) $$v(t) = \frac{mg}{b}(1-e^{-\frac{b}{m} t})\\x(t) = \frac{mg}{b} t - \frac{m^2 g}{b^2}(1-e^{-\frac{b}{m}t})$$ 여기서 시간이 무한히 흘렀을때 도달하는 속력인 종단속력을 알 수 있다. $$v_t = \frac{mv_0}{b}$$

운동방정식을 정리하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\dot{v} = g-\frac{b}{m}v$$ 위에서 했던 것처럼 양변을 변수분리할 수 있다. $$\frac{dv}{\frac{mg}{b}-v} = \frac{b}{m} dt$$ 양변을 부정적분 하자. $$\int \frac{dv}{\frac{mg}{b}-v} = \int \frac{b}{m}dt \\-\ln{(\frac{mg}{b}-v)} = \frac{b}{m}t+C$$초기조건을 대입하면 $C = \ln\frac{mg}{b}$임을 알수 있고, 이를 대입하여 식을 정리할 수 있다. $$v = \frac{mg}{b}(1-e^{-\frac{b}{m}t})$$ 이 식의 양변을 시간에 대해 부정적분하고, 초기조건 $x(0) = 0$을 대입하여 초기조건을 구할 수 있다.$$x= \int v dt = \int \frac{mg}{b}(1-e^{-\frac{b}{m}t}) dt = \frac{mg}{b} t +\frac{m^2 g}{b^2}e^{-\frac{b}{m}t}+C\quad C = -\frac{m^2 g}{b^2}\\x = \frac{mg}{b} t - \frac{m^2 g}{b^2}(1-e^{-\frac{b}{m}t})$$ 시간이 무한히 흘렀을때 물체의 속력을 구하자.$$\begin{array}{rcl} v_t &=& \displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty} v\\&=&\displaystyle\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{mg}{b}(1-e^{-\frac{b}{m} t})\quad(e^{-\frac{b}{m}t}\rightarrow 0) \\&=&\displaystyle\frac{mg}{b}\end{array}$$ 이 값은 종단속력이고, 이 값을 치환하면 속도에 대한 식과 위치에 대한 식을 간단하게 쓸 수 있다.$$v(t) = v_t(1-e^{-\frac{b}{m}})\\x(t) = v_t t-\frac{mv_t}{b}(1-e^{-\frac{b}{m}t})$$ 여기서, 시간이 무한이 지났을때 $v_t$의 일정한 속력으로 등속도하기 때문에 위치 식에서도 $v_t t$가 나타남을 알 수 있다.

다음 포스팅에서는 공기저항력이 속도의 제곱의 비례하는 경우에 대해 다룰 것이다.